Matematik
sandsynlighedsregning
Fra et almindeligt spil kort udtrækkes uden tilbagelægning 3 kort. Find sandsynligheden for hver af følgende hændelser:
A: alle kort er hjerte
B: Alle kortene har samme kortfarve
C: ingen af kortene er billedkort
Svar #2
15. februar 2005 af xyz (Slettet)
skal jeg så sige K(52,13) ??
Svar #3
15. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
Udtrækning uden tilbagelægning skulle gerne lede tankerne hen på hypergeometrisk fordeling.
Mere præcist lader vi M,N og n være positive hele tal, så M
h(x,M,N,n) = K(M,x)*K(N-M,n-x)/K(N,n)
Her angiver K(N,n) binomialkoefficienten
K(N,n) = N!/(n!(N-n)!)
og tilsvarende for K(M,x), K(N-M,n-x).
K(N,n): antal måder, hvorpå n elementer kan udtrækkes blandt N elementer.
K(M,x): antal måder, hvorpå x elementer kan udtages af en delmængde på M elementer
K(N-M,n-x): antal måder, hvorpå de sidste n-x elementer kan udtages blandt de resterende N-M elementer.
I opgaven ovenfor har vi således, at
N=52
n=3
A: Der er 13 kort i hjerter, hvoraf du ønsker 3 udtrukket, så M=13 og x=3. Sandsynligheden for hændelsen A er da
P(A) = h(3,13,52,3)
B: Med 'kortfarve' menes formentlig kulør. Hændelsen B svarer blot til at realisere hændelsen A for én af de 4 kulører.
C: Bemærk, at den komplementære hændelse er, at alle 3 kort er billedkort.
//Singularity
Svar #4
15. februar 2005 af xyz (Slettet)
der er nogle af formlerne, som du har skrevet jeg ikke kender...
fx den med K(N,n)
jeg bruger K(n,r)..???
Svar #5
15. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
A: P(A) = h(3,13,52,3) = K(13,3)*K(52-13,3-3)/K(52,3) = K(13,3)/K(52,3)
Duffy har noteret det samme i #1.
//Singularity
Svar #6
16. februar 2005 af Brian (Slettet)
A: (Alle 3 kort er hjerter). Baggrunden for løsningen i #1 er at beregne på hvor mange måder udtrækning af 3 kort, der alle er hjerter, kan ske. Det kan gøres på 13*12*11 måder, fordi første træk er muligt på 13 måder; derefter er der kun 12 hjerter tilbage (uden tilbagelægning), o.s.v.
Og 13*12*11 = K(13, 3).
Tilsvarende beregnes på hvormange måder 3 kort kan udtrækkes af alle 52 - det er 52*51*50 = K(52, 3).
Tilsidst kommer at SANDSYNLIGHEDEN for 3 hjerter er disse antal kombinationer i forhold til hinanden:
P(A) = K(13, 3)/K(52, 3).
B: Antallet af udtrækninger der giver 3 af ens farve er K(13, 3) lige meget om det er hjerter, kløver, spader eller ruder. Antallet af udtrækninger der giver 3 af ens farve er derfor 4*K(13, 3) (du kan lægge dem sammen fordi {3 ens hjerter} og {3 ens spader} ikke har nogen udtrækninger til fælles). Dette forklarer B i #1.
C: Kan forklares med samme overvejelse: Der er 12 billedkort, altså 52-12 ikke-billedkort.
M.h.t. #2: Samme overvejelser igenigen - der er 13 kløver + 13 hjerter = 26 ialt, d.v.s. 52 - 26 = 26 ikke-kløver-eller-hjerter i alt. Antal trækninger herfra er så K(26, 3).
Svar #7
16. februar 2005 af allan_sim
K(13,3)=13*12*11
I min verden er
K(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)
og dermed er specielt
K(13,3)=13!/(3!*10!)
=(13*12*11)/(3*2*1)
=(13*12*11)/6
På tilsvarende vis er
K(52,3)=(52*51*50)/6
Svar #8
16. februar 2005 af Duffy
Det lader til at der er noget rod med hvad kortene i et almindeligt spil kort hedder...
Det hedder sædvanligvis ikke kort-farve, men KULØR.
[Heraf vendingen "At bekende kulør"]
Kort med rødt hjerte hedder HJERTER
(ENG.: HEARTS)
Kort med rød "rude/diamant" hedder RUDER
(ENG.: DIAMONDS)
Kort med sort trekløver hedder KLØR
(ENG.: CLUBS)
Kort med sort spar-symbol hedder SPAR
(ENG.: SPADES)
Vendingen "Alle kortene har samme kortfarve" kan måske misforstås til fx at være alle de røde...
Duffy :D
Svar #9
16. februar 2005 af Brian (Slettet)
I min iver for at give en mere intuitiv forklaring, som jeg tror ville være til nytte for spørgeren, glemte jeg at dividere antallet af permutationer (13*12*11) med antallet af mulige rækkefølger af de 3 udtrukne (3*2*1).
Så
K(13, 3) = (13*12*11)/(3*2*1) =
(13!)/(10! * 3!)
Skriv et svar til: sandsynlighedsregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.