differentialkvotienten

Da

[f(x₀+h)-f(x₀)]/h = [(4(x₀+h)²-x₀-h)-(4x₀²-x₀)]/h = [4x₀²+8x₀h+4h²-x₀-h-4x₀²+x₀]/h = 8x₀+4h-1→8x₀-1 for h→0

sluttes at

lim_h→0 [f(x₀+h)-f(x₀)]/h = 8x₀-1

og dermed at differentialkvotienten f ' , i overensstemmelse med regnereglerne for differentiation, er givet ved

f '(x) = 8x-1.

 Ja, taak det sætter jeg meget pris på.

4x0^2+8x0h+4h^2-x0-h-4x0^2+x0]/h

Jeg forstår det ikke. Du ganger 4 med (x0+h) ^2 = 4x0^2+4h^2 er det ikke sådan.

Og hvor får du 8x0h fra ?

:D

Det er ikke korrekt at gange ind i parantesen på den måde. Langt det letteste er at udregne parantesen før man eventuelt ganger ind. Bemærk hvordan man udregner kvadratet på en toleddet størrelse:

(x₀+h)²=x₀²+2hx₀+h²

Multiplikation med 4 giver således

4(x₀+h)²=4(x₀²+2hx₀+h²)=4x₀²+8hx₀+4h².

 Tusind taaak.

 8x0-1 for h→0

Hvorfor siger du -1 ?

 Og hvordan kan det være at 8x0 -1

Bliver til  8x-1 efter du har sat det ind på lim ?

#5 At 8x₀+4h-1→8x₀-1 for h→0 er jo klart (forestil dig hvad der sker når h "går tæt på 0" eller prøv at indsætte h=0). 

Men hvor er -1 så oprindeligt kommet fra? Det er jo fremkommet da vi i forsøget på at reducere brøken dividerede alle led i tælleren med h. I gerningsøjeblikket bemærkede vi bare stiltiende at -h/h = -1.

#6 Til sidst udelades indeks 0, idet betegnelsen x₀ kun blev indført af hensyn til beviset.

 Jeg skal gør det samme ved f(x) = x^3+4x-7 Jeg satte det ind på lommeregneren som funktion og fik det her.

h^2+3hx0+3x0^2 +4

Hvad er det så når h går mod 0 ?

0^2+3*0 x0 + 3x0^2 4

=

3x0+ 3x0^2+4

hvad sker der derefter er det så 6x0^2 +4 når h nærmer sig 0 ?

 lim h→0 [f(x0+h)-f(x0)]/h = 8x0-1

Jeg satte det ind på lommeregneren præcis som du har skrevet det for oven men får ikke 8x0-1    :/   ? Hvorfor ?

#8 Du har næsten regnet rigtigt indtil sidste lighedstegn (der mangler et + foran 4-tallet), men husk altså lige 3·x₀·0 = 0. Bruges dette fås differentialkvotienten 3x²+4.

#9 Forsøg at lave beregningerne uden lommeregner......

 er det så 6x0^2 +4 når h nærmer sig 0 ?