srp, partiel diff, hesse matrice, youngsætning

En tangentplan er en generalisering af begrebet tangent til i det 2-dimensionale rum. En tangent er udover at være tangent også en approksimation til funktionen i det punkt hvor tangenten rører funktionen. På samme måde vil en tangentplan også i nærheden af berøringspunktet være en approksimation til den 2-dimensional graf af en funktion af 2 variable.

Der skal som ikke så meget til at forstå, hvad Youngs sætning og Hessematricen går ud på.

Hessematricen er såmænd blot en matrix af formen:

mens Youngs sætning blot fortæller os, at:

hvilket altså må betyde, at Hessematricen (eller andenordensmatricen som den også kaldes) er symmetrisk.

Når du skal finde stationære (kritiske) punkter, skal du finde de første afledede og sætte disse lig 0 (førsteordensbetingelsen). Da får du et eller flere punkter, der opfylder ligningsystemet. Find da de anden afledede og indsæt punktet i disse og beregn værdierne. Opskriv dette i en Hessematrix, hvis du lyster, men det er ikke nødvendigt.

Der følger da (andenordensbetingelsen), at når:

(i) Hvis og , så er (x₀,y₀) er maksimumspunkt.

(ii) Hvis og , så er (x₀,y₀) er maksimumspunkt.

(iii) Hvis , så er (x₀,y₀) et sadelpunkt.

(iv) Hvis giver testen ingen afgørelse.

Udtrykket svarer i øvrigt blot til diskriminanten, idet du jo benytter Youngs sætning.

NB: Alt det jeg har skrevet, gælder for to variable. Det kan naturligvis også klares for flere, men jeg regner ikke med, at du behøves at se på det.

tak for svarene alle sammen

men jeg forstår ikke hvad hesse matricen endelig gør, er det bare en tabel for overskuelighedens skyld?

for mig lyder youngs sætning bare som noget ubrueligt, er den vigtig?

burde jeg tage den med?

endnu et spørgsmål, er der nogle programmer der kan tegne 3 d grafer og tangent planer osv.

har mathmatica men den er mærkelig at bruge og tror den tegner forkert....

En matrix er såmænd bare en tabel, ja. Nogle matricer har nogle ret smarte egenskaber, men det har Hessematricen som ikke engang. Ikke udover at det er nemt at se, hvordan man skal beregne diskriminanten, hvis du har haft lidt almen vektorregning.

Youngs sætning er nu yderst smart! For det første behøves du jo kun at differentiere én gang, hvilket er lækkert, hvis du skulle have et meget langt udtryk. Desuden benytter du den, når du beregner diskriminanten.

Beviset for Youngs sætning burde du dog nok udelade, idet det er lidt langt, og så kan det måske være lidt svært at forstå. Vi kan sagtens lave det, men din tid kunne måske nok bruges bedre end på at forstå netop det bevis.

Måske er det værd at nævne, at Youngs sætning faktisk ikke gælder altid. Du vil dog helt sikkert ikke opleve funktioner, hvor den ikke holder.

jeg tror endelig at jeg gerne vil have youngs sætning med, hvis du gider at forklare den.

tak på forhånd

Jeg forklarede jo allerede Youngs sætning i #2. Den siger blot, at de to dobbelt partielt afledede (med hensyn til x og y) er lig hinanden. I den forstand er den skam ganske simpel.

I øvrigt forstår jeg da godt, hvis (i) og (ii) i #3 ikke giver nogen mening. Diskriminanten skal naturligvis være større end nul, det der jo ellers ikke er et ekstremum. :-)

tak for hjælpen hehe

men jeg forstår ikke hvad i mener med at hesse matricen er symmetrisk og diskriminanten

har kigget på nogle videoer på youtube, hvor de udleder anden ordens testen vha. en andengradsligning, kan det lade sig gøre?

tak på forhånd

At den er symmetrisk betyder blot, at du kan lægge et spejl skråt igennem den, og så vil der stå det samme på begge sider af spejlet. Symmetrien gælder således kun, hvis du lægger et spejl fra venstre øvre hjørne og til højre nedre hjørne. Da er de sidste to hjørner jo lig hinanden, idet det jo netop følger af Youngs sætning. :-)

Har du aldrig haft om vektorer? Der regner I også med diskriminanter... Vektorproduktet (krydsproduktet) er jo blandt andet tre diskriminanter, der hver især giver en værdi til normalvektoren i rummet.

Jeg vil gerne hjælpe dig, men det er lidt svært at forklare det hele over et forum, hvor vi kun kan gøre meget lidt ud fra TeX'en suppleret med forklaringer. Du burde have en til at forklare dig det foran en tavle, for det hele er i virkeligheden meget simpelt. Har du ikke vejledningstimer hos din lærer?

Ps. Hvad skal du egentlig skrive om? - økonomi? 

Hej Thomas

jeg skriver med min lærer over email.

jeg skriver om partieldifferentiering og optimering. er nået til "redegør for hvordan man finder ekstrema for funktioner af 2 variable" i min problemformulering

tak på forhånd

Det er som sådan det, jeg skriver i mit indlæg #3. Men det burde nok skrives lidt klarere.

Jeg kan lige se, om jeg kan nå at stykke noget sammen til dig i morgen.

altså jeg forstår godt det du har skrevet uden problemer, jeg prøver at bevise det. jeg vil gerne vise i min srp, hvordan anden orden betingelsen fremkommer

men forstår ikke beviset, kan se at man skal bruge et andengradspolynomie i x og y, og så noget med taylor polynomier,

tak på forhånd

Jeg har vrøvlet. Der skal ikke stå diskriminanter men determinanter... NATURLIGVIS! Jeg kan ikke lige huske beviset for andenordenstesten, men man kan overbevise sig selv om dens plausible indhold ved at tegne og tænke lidt.