Matematik

Kontinuitet og differentiabilitet

23. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Har fået følgende spørgsmål:

1) Definér kontinuitet i x0 og forklar den geometriske betydning af definitionen.

2) Definér differentiabilitet i x0 og forklar den geometriske betydning af definitionen.

3) Fortæl om tangenten i punktet (x0,f(x0)) og udled dens ligning.

4) Fortæl om det approksimerende førstegradspolynomium i x0 og angiv forskriften.

Til spm. 1) har jeg skrevet:

1) Hvis en graf er kontinuer i punktet x0 findes der en dertilhørende funktionsværdi af x0. Fx. er f(x) = 1/x ikke kontinuer i punktet 0 da f(x) ikke er defineret i 0, dermed er f(x) diskontinuer i 0. Dertil så skal funktionsværdien for også ”ligge på grafen”. Dermed er g(x)= 1/x for x forskellig fra 0, og g(x) = x for x = 0 heller ikke kontinuer i 0 da der forekommer et ”spring”. Dermed kan man sige at den geometriske betydning af kontinuitet er at grafen forholder sig sammenhængende uden spring, eller på ”horsensiask; grafen er hul og hop fri” :)"

Til spm 2 har jeg skrevet:

2) Differentiabilitet er nærmest en ”videreudvikling” af kontinuitet. Hvis en graf er differentiabel i x0 så er den også kontinuer i x0. Derimod er den ikke nødvendigvis differentiabel i x0 selvom den er kontinuer i x0 . For at grafen er differentiabel i x0 skal der naturligvis gælde det samme som hvis at den er kontinuer i x0 , men der skal desuden også gælde, at der findes en grænseværdi omkring x0 . Dvs. hvis man vælger en x-værdi tilstrækkeligt tæt nok på x0 så skal der også findes en tilsvarende funktionsværdi tilstrækkelig tæt nok på funktionsværdien af x0 . Hvis der så desuden er et ”knæk” på grafen er den heller ikke differentiabel, som tilfældet fx er med f(x) = |x|. Dermed kan man sige at den geometriske betydning af differentiabilitet er at grafen er forholder sig sammenhængende og uden spring eller knæk, eller på ”horsensiask; grafen er hul, hop og knæk fri” :)

Spørgsmål 3 og 4 er jeg dog i tvivl om hvad der skal skrives :S?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. februar 2005 af Katty (Slettet)

Spørgsmål 1 kan forenkles:

1) En kontinuert funktion er en funktion, hvis graf ikke springer i denfinitionsmængden. Der gælder for ethvert x0 i Dm(f): f(x) går mod f(x0) for x gående mod x0)

3) Denne udledning må du da kunne finde i din bog.

4)Det approksimerende førstegradspolynomium for f i x0 er den lineære funktion p, der som graf har tangenten med røringspunkt (x0,f(x0))

Forskrften kan du sikkert finde i din bog.

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. februar 2005 af riquelme (Slettet)

Du bytter lidt rundt på kontinuitet og differentiabilitet. x -> 1/x er skam kontinuert. Som #1 siger så kan man ikke tale om hverken kontinuitet eller diskontinuitet udenfor en funktions definitionsmængde. Der må altså gerne være huller i grafen for en kontinuert funktion (husk at det er ikke _grafen_ som er kontinuert, men den funktion som grafen repræsenterer).

Derudover så betyder kontinuitet netop dét, som du skriver under differentiabilitet: "hvis man vælger en x-værdi tilstrækkeligt tæt nok på x0 så skal der også findes en tilsvarende funktionsværdi tilstrækkelig tæt nok på funktionsværdien af x0". Det er dog lidt mere præcist at skrive f.eks. "kontinuitet i x0 betyder, at forskellen mellem to funktionsværdier f(x) og f(x0) kan gøres vilkårligt lille ved at vælge x tilstrækkelig tæt på x0" el. lign.

Husk også, at kontinuitet er en lokal egenskab: det er noget som en funktion kan være i et punkt.

Svar #3
23. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Dvs at når man kigger på om grafen for en funktion er kontinuert så kigger på man kun for de x værdier som ligger indenfor dm? Altså så 1/x er en fuldt ud kontinuert funktion?

Men den reelle forskel ved at en funktion er differentiabel og kontinuer er så at den differentiable funktion ikke må have nogle "knæk" eller hvad? Men hvordan kan man forklare dette?

Desuden hvad er forskellen så på det approksimerende førstegradspolynomium i x0 og en tangent i x0?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. februar 2005 af riquelme (Slettet)

x -> 1/x er kontinuert, fordi den er kontinuert i ethvert punkt i sin definitionsmængde.

Differentiable funktioner har ingen "knæk". At en funktion er differentiabel betyder, at grænseværdien for sekanthældningen (= differenskvotienten [f(x)-f(x0)]/[x-x0]) i et punkt er den samme uanset om du nærmer dig punktet fra højre eller venstre.

"Approksimerende førstegradspolynomium" og tangent er det samme.

Svar #5
25. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Ok, mht punkt 3) kan jeg så skrive noget i nærheden af:

Hvis f(x) er differentiabel i x0 så kaldes linjen der går gennem (x0,f(x0)) med hældningskoeeficienten f'(x0) tangenten i punktet (x0,f(x)). For at udlede ligningen for tangenten i (x0,f(x0)) benytter jeg linjens ligning, y - y0 = a(x-x0). Her er y0 = f(x0) og a = f'(x0), dermed er ligningen for tangenten i (x0,f(x0)) y - f(x0) = f'(x0)(x-x0).

4) Det approksimerende førstegradspolynomium for f i x0 er den lineære funktion p, der som graf har tangenten med røringspunkt (x0,f(x0)). Dermed er forskriften p(x) = f'(x0)(x-x0) + f(x0)

Og så har jeg lige endnu et lille spørgsmål, vedrørende differentiering af 1/x, hvordan kommer jeg videre fra 1/((x + h)·h) - 1/(x·h) ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. februar 2005 af Katty (Slettet)

1/x = x^-1

Differentieret giver denne altså:

-x^-2 = -1/x^2

Svar #7
25. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Ja okay sådan kunne man jo også gøre det. Men ved brug af "3 trins reglen", har jeg fået differenskvotienten til at være 1/((x + h)·h) - 1/(x·h), hvilket er lig med -1/(x*(x+h)) og når h så går med nul så bliver differentialkvotienten -1/x^2, jeg kan bare ikke lige se hvordan at 1/((x + h)·h) - 1/(x·h) = -1/(x(x+h)) ??

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. februar 2010 af olav1 (Slettet)

<p>Hvis f(x)=x for x<0 og f(x)=2x+1 for x>0 og f(x) ikke defineret for x=0 - - - er den så differentiabel i hele sit definitionsområde?</p>

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. juni 2010 af Annesofie2802 (Slettet)

Jeg skal selv op i mundtlig matematik, og er der noget forkert med svar 2 eller kan jeg bruge det?

Skriv et svar til: Kontinuitet og differentiabilitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.