hjælp til vektorregning!

At vektorerne a+tb og b-ta er ortogonale, er ensbetydende med, at det skalare produkt

(a+tb)*(b-ta) = 0 (1)

Du kan udregne venstresiden af (1) ved brug af de sædvanlige regneregler for skalarproduktet. Husk, at du kender vektorkomposanterne af a og b.

Du skal ende med en ligning i t, som efterfølgende løses.

//Singularity

Jeg er sådan ser kommet så langt, at jeg har opstillet en form for ligning. Det er lidt besværligt at skrive den hér, men jeg får en andengradsligning, som giver et mærkeligt resultat, som ikke passer med t. Men kan man ikke sige, at en af de to vektorer nødvendigvis må være 0, for at skalarproduktet kan være 0?

#2: Nej, ingen af vektorerne a+tb og b-ta kan være nulvektoren (0,0), thi

a + tb = (1,3) + t(0,2) = (1,3+2t)
b - ta = (0,2) - t(1,3) = (-t,2-3t)

Uanset værdien af t er disse vektorer egentlige.

I stedet udregner vi venstresiden af (1) i #1. Det giver

(a+tb)*(b-ta) =
a*b - t|a|^2 + t|b|^2 - (t^2)a*b =
a*b(1 - t^2) + t(|b|^2 - |a|^2)

idet a*a = |a|^2 og tilsvarende for b. Idet

a*b = 1*0 + 3*2 = 6
|a|^2 = 1^2 + 3^2 = 10
|b|^2 = 0^2 + 2^2 = 4

kommer vi til at løse ligningen

6(1 - t^2) + t(-6) = 0

eller, hvad der er ækvivalent hermed

1 - t - t^2 = 0

altså en andengradsligning i t, som løses på sædvanlig vis.

//Singularity