Kurveintegral

(∫1/z)γ'(t)dt = ∫(1/e^it)i*e^itdt = ∫1dt = 2πi. Der findes iøvrigt en generel sætning om lukkede kurveintegraler, hvoraf det fremgår at resultatet udelukkende er afhængige af punkter hvor funktion har løst sagt opfører sig som g(z0)/(z-z0)ⁿ . Kender du den sætning kan du bruge den i stedet for.

Den anden beregnes på samme måde

Sætningen, som peter lind henviser til, kaldes residuesætningen. Funktionen (z)=1/z har en pol af orden -1 i z=0, og dermed er res(f,0) = 1. Dermed er integralet af f(z) langs en simpel lukket kurve φ, der indeholder polen i sit indre, lig med

2πi res(f,0) w(φ,0)

hvor w(φ,0) er vindingstallet for φ om z=0. Når φ som her er en simpel kurve med z=0 indenfor kurven, er w= 1, og integralet har dermed værdien

2πi

for begge kurver γ og μ. γ er enhedsciklen med centrum i 0, og μ er enhedskvadratet (sidelængde 2) centreret omkring 0.

 #1 Er du sikker på dine parenteser er sat korrekte? og er det rigtige variable?

Vi integrerer over y:

∫y f = ∫y f(z)dz = integralet fra a til b over  f(y(t))·y'(t)dt , ikke sandt? 

Jeg vil meget gerne se udregninger for de begge kurveintegraler. Det ville være rart.

#3 - Du integrerer ikke over y. Det er over γ (gamma), en lukket kurve i den komplekse plan, der har polen z=0 i sit indre.

Lad os beregne integralet for kurven γ(t) = e^it , 0 ≤ t ≤ 2π . Da er γ'(t) = ie^it , og vi får

∫_γ f(z) dx = ∫_γ f(γ(t)) γ'(t) dt = ∫_γ γ'(t)/γ(t) dt = ∫^2π₀ ie^it/e^it dt = i ∫^2π₀ dt = 2πi .

Prøv nu selv den anden kurve μ .

 Jeg er ikke med på notationen i #2. hvad betyder res og det andet. Hvad er en pol? 

Udregningen i #4 er jeg med på nu.

 Det andet integral har jeg prøvet at regne ud. Jeg får

∫f(z)dx = ∫f(u(t)) u'(t) dt = A + B +C +D

A = integralet over [-1,1] af (1 + it) / i

B= integralet over [-1,1] af (-t + i) / (-1)

C = integralet over [-1,1] af (-1 - it) / (-i)

D = integralet over [-1,1] af (t - i) / 1

Hvad går der galt?

#5 Glem det. Det får du senere.

#6 For at tage den første del f(z) = 1/z, u(t) = 1+it, heraf  f(u(t)) = 1/u(t) = 1/(1+it),  u'(t) = i så f(u(t))*u'(t) = i/(1+it). Integranten er altså i/(1+it)

 #7 Selvfølgelig. Det er jeg med på. Men ellers er det rigtig at lægge dem alle sammen til sidst?

Ja

 integral (-1,1) over i/(1+it) = i ln(1+it) * i ^-1, ikke sandt?

Omskriv hellere funktionen: i/(1+it) = i(1-it)/{1+it)(1-it)} = (i+t)/{2(1+t²) = ½i/(1+t²) + ½t/(1+t²). Så er du ovre i gammelkendt integration.

 Jeg skal genaflevere opgaven fordi jeg tog den naturlige logaritme til et kompleks tal.

De to integraler skal være ens. Det første integral er jeg med på. Det er også korrekt.

Det næste er forkert. hvordan løser man problemet ?

Det nemmeste for dig er nok at gøre som jeg har foreslået i #11, så slipper  for logaritmen af komplekse tal.

Integralet for den anden opgave er (i en lidt hurtig notation)

Int(-1,1)(1/(-i+t))dt + Int(-1,1)(-1/(i-t))dt + Int(-1,1)(i/(1+it))dt + Int(-1,1)(-i/(-1-it))dt

Hvert af disse fire integraler er lige store, så vi får fortsat

= 4∫¹_-1 1/(t-i) dt = 4∫¹_-1 (t+i)/(1+t²) dt = 4∫¹_-1 t/(1+t²) dt + 4i∫¹_-1 1/(1+t²) dt

= 4[(1/2)·ln(1+t²)]¹_-1 +4i·[Arctan(t)]¹_-1 = 4·0 + 4i·(Arctan(1)-Arctan(-1)) = 4i·2·Arctan(1) = 8iπ/4 = 2πi

hvilket bekræfter resultatet i #2.