Vektorer i rummet

 Du kan finde vektoren AB, der må nu gælde at OB = OA + AB [tegn det evt]

Men D ligger jo 5/6 af vejen mellem A og B, langs med AB .. Derfor gælder: OD = OA + 5/6 * AB.

OD er blot D's koordinater, ergo er D = A + 5/6 AB , hvor du summerer koordinat for koordinat

Vi bemærker først, at det hele foregår i planen z=0, så det er tilstrækkeligt at analysere i 2 koordinater (x,y).

Punktet D ligger på liniestykket AB. Vi sætter nu vektoren AD til

AD = s·AB = s·(-2 ; 3) og dermed er

DB = AB - AD = AB - s·AB = (1-s)·AB

Nu har vi

|AD| = |s||AB| og

|DB| = |(1-s)||AB| , og da der skal gælde |AD| = 5|BD| , får vi

|s||AB| = 5|(1-s)||AB| , dvs

|s| = 5|(1-s)| , dvs

s = 5(1-s) eller s = 5(s-1) , hvoraf

s = 5/6 eller s = 5/4 .

Der er altså een løsning for D mellem punkterne A og B svarende til s = 5/6 , dvs

OD = OA + AD = OA + (5/6)·AB = (2 ; 0) + (5/6)·(-2 ; 3) = (1/3 ; 5/2) . Dette er stedvektoren til punktet D, så dette er også D's koordinater (underforstået at z = 0).

Der er også en løsning, hvor D ligger på liniestykkets AB's forlængelse, svarende til s = 5/4:

OD = OA + AD = OA + (5/4)·AB = (2 ; 0) + (5/4)·(-2 ; 3) = (-1/2 ; 15/4) .

Nu giver det pludselig mening!

tak for hjælpen. =)

#2

Ville det være nødvendigt at lave hele omregningen til at bevise at D ligger 5/6 hen ad vektoren AB, som du gør? Nu tænker jeg på hvad eventuelt en sensor til eksamen ville sige.

#4 - Der er ikke noget forkert i MarsDK's forklaring; men den forudsætter, at man kan se, at de to stykker er 1/6 og 5/6 af det hele linestykke. Hvis man har svært ved at se det, giver forklaringen i #2 det ad algebraisk vej. Forklaringen i #2 finder også en anden løsning, hvis man ikke på forhånd kan antage, at D må ligge mellem A og B. Det følger muligvis af formuleringen i #0 "Punktet D ligger på linjestykket AB". Udregningerne i #2 ser måske omstændelige ud; men det er jo blot simple lineære relationer.