funktionsundersøgelse

d)
Lokale ekstrema er de maksima og minima, du har fundet. Hvis et punkt fx er maksimum i et afgrænset interval på x-aksen, så er det et LOKALT ekstremum. Er det derimod maksimum på hele x-aksem, er det GLOBALT ekstremum.

e)
Når du skal bestemme værdimængden, ser du på funktionsværdierne i til dels ekstremumspunkterne og til dels i intervallet endepunkter. Værdimængden går så fra det mindste til det største af de beregnede funktionsværdier.

Skriv dine løsningsforslag herinde, så ser vi på dem ;-)

d) De lokale ekstremumssteder er løsningerne til ligningen f'(x) = 0.

e) f er kontinuert på hele det betragtede lukkede og begrænsede interval [-3;2], så værdimængden er lukket og begrænset. Værdimængden kan bestemmes med udgangspunkt i monotoniforholdene.

//Singularity

altså når jeg sætter f(x) = 0 får jeg x = 0, men dette kan vel ikke passe..

og f(x) =x^4+8x <=> f´(x)=4x^3+8
og den sættes lig o og x bliver -1,26(afrundet tal), har hele tallet på lommeregneren

og har så lavet fortegnsundesøgelse og det viser sig at når x er -3 har den negativt fortegn, og når x = -1.26 er den O og positivt fortegn på den anden side..

#3:

a) Jo, vel kan det så :-) Lad os skrive

f(x) = x^4 + 8x = x(x^3 + 8) (1)

Så kan du med det samme se, at f har præcis to nulpunkter (brug nulreglen).

b) Du skal ende med følgende fortegn på f;

f(x) > 0 <=> x < -2 v x > 0
f(x) < 0 <=> x E ]-2;0[

Dette kan indses ved at betragte f(x) på formen (1) ovenfor, idet f(x) < 0 når faktorerne x og x^3 + 8 har modsat fortegn og f(x) > 0, når x og x^3 + 8 har samme fortegn. Man kan også udvælge nogle værdier, på hver side af nulpunkterne for f og så bruge, at f er kontinuert. Vælg den metode, du har bedst styr på.

c) f'(x) er korrekt udregnet, men drop biimplikationen (<=>). Den er faktisk ikke korrekt. Hvis du endnu ikke har haft integralregning, så vil jeg ikke komme nærmere ind på, hvorfor.

Man kan bestemme fortegnsvariationen for f' direkte. Vi har

f'(x) = 0 <=> 4x^3 = -8 <=> x = (-8/4)^(1/3) = (-2)^(1/3)

og tydeligvis

f'(x) < 0 <=> x
f'(x) > 0 <=> x > (-2)^(1/3)

Dette stemmer med de oplysninger, du skriver i #3. Så hvad bliver monotoniforholdene for f?

//Singularity

#4
Jeg har endnu ikke haft integralregning, men vil da gerne høre hvorfor det ikke er korrekt..

a)dvs nulreglen : a*b=0 <=> a=0 el. b=0
så enten er x = 0 eller (x^3 + 8)= 0, ik?

Så er monotoniforholdene at f er aftagende fra -3 til 0 og voksende fra 0 til 2 ?

#5: I integralregning lærer man, at en stamfunktion G til en kontinuert funktion g er en funktion, som opfylder, at

G'(x) = g(x)

I opgaven er

g(x) = f'(x) = 4x^3 + 8
G(x) = f(x) = x^4 + 8x

Der findes uendeligt mange stamfunktioner til g. Vi kan jo bare vælge en reel konstant k, så enhver af funktionerne i familien

(G_k)(x) = x^4 + 8x + k

er en stamfunktion til g, thi

(G_k)'(x) = 4x^3 + 8 = g(x)

Biimplikationen (<=>) i #3 angiver imidlertid, at der er præcis én stamfunktion til 4x^3 + 8, nemlig x^4 + x. Det er jo ikke tilfældet. Derimod gælder det tydeligvis, at

f(x) = x^4 + 8x => f'(x) = 4x^3 + 8

Bemærk forskellen:
- Når f er givet, er den afledede, f' entydigt bestemt.
- Når f' er givet, er en stamfunktion, f ikke entydigt bestemt [medmindre der er givet yderligere oplysninger om f].

Selvom implikationen (=>) er korrekt brugt, vil jeg fraråde, at man bruger implikationer på den måde. Dels er det ikke særlig pænt, og dels er det helt unødvendigt.

Monotoniforholdene for f (jf. fortegnsvariationen for f' i #4);

f er aftagende i [-3 ; (-2)^(1/3)]
f er voksende i [(-2)^(1/3) ; 2]

Dermed har man med det samme den oplysning, at x = (-2)^(1/3) er et lokalt (endda globalt) minimumssted for f. Kan du se det?

//Singularity

:-) så ved jeg det, når jeg skal have integralregning.

Monotoniforholdene er jeg med på.

mht det sidste, som du skriver, jeg kan godt se det, når ser på den tegnede graf, men er det nok forklaring?

#7: Nej, det argument er næppe tilstrækkeligt. Begrundelsen er helt præcist den i #6 skrevne, at

f er aftagende i [-3 ; (-2)^(1/3)]
f er voksende i [(-2)^(1/3) ; 2]

samt at f'((-2)^(1/3)) = 0.

Det betyder, at x=(-2)^(1/3) nødvendigvis må være et lokalt minimumssted for f. Faktisk er det et globalt minimumssted, hvilket kan indses ved at udvide definitionsmængden [-3,2] for f til den naturlige definitionsmængde, som i dette tilfælde er hele R.

//Singularity