differentialligninger /logistiske hjæælp

Differentialligningen f'(x) = k · f(x), hvor k er en given konstant, har den fuldstændige løsning: f(x) = c · e^kx

 Dette vil vi nu bevise. Beviset falder i to dele:

1. Hvis f er løsning, så er er f af formen f(x) = c · e^kx

2. Hvis f er af formen f(x) = c · e^kx, så er f løsning.

_____________________________________________________________

1. Vi forudsætter, at en funktion f er løsning til differentialligningen, og der gælder da:

f'(x) = k · f(x) (lad os kalde denne for 1)

Vi tænker os, at vi indfører en hjælpefunktion - det må vi gerne! Den kalder vi for h(x). Og h(x) er givet ved:

h(x) = f(x) ·e^-kx (lad os kalde denne for 2)

Vi differentierer h(x) ved hjælp af produktreglen og får:

h'(x) = f'(x) · e^-kx + f(x) · (-k) · e^-kx

Da vi har et udtryk for f'(x) - det så vi jo i udtryk 1 - indsættes dette, og vi får da:

h'(x) = k · f(x) · e^-kx + f(x) · (-k) · e^-kx

Rykker vi lidt rundt, får vi:

h'(x) = k · f(x) · e^-kx - k · f(x) · e^-kx

Vi ser da, at h'(x) = 0, og vi kan da udtale os om h(x). Da h'(x) = 0 for alle x, er h(x) en konstant - den kalder vi c. Indsættes dette i udtryk 2, får vi:

f(x) · e^-kx = c

Ganger vi med e^kx på begge sider, får vi:

f(x) · e^-kx · e^kx = c · e^kx

Jævnfør regnereglerne for potens gælder, at e^-kx · e^kx = e^{-kx + kx} = e⁰ = 1. Derved fås:

f(x) = c · e^kx.

Hermed er første del af beviset fuldført.

2. Ved differentiation af f(x) = c · e^kx fås:

f'(x) = (c · e^kx)' = k · c · e^kx = k · f(x)

Hermed er anden del af beviset fuldført.

 tusinde taak det reddet så meget min dag :D tak tak tak tak... meget mere forståeligt nu