Bevis for Toppunktsformel - -b/2a

Det er korrekt. Dit argument vil være, at toppunktet jo er vendepunkt for funktionen. Dermed må der jo være en vandret vendetangent. Og som vi ved, så er hældningen for en vandret vendetangent netop = 0. Og som du viser betyder 0 = 2ax+b at x = -b/2a.

Det er iøvrigt det bevis jeg altid har brugt. Hvad er den anden metode du skriver om?

Tak for det hurtige svar!

Den anden metode, er den på side 185 MAT B2 (hvis De nu har bogen). Men beviset for det første koordinat nemlig længere end den overstående metode.

Man forudsætter at en parabel skærer y-aksen i (0,c), eftersom:

 f(x)=ax²+bx+c

f(0)=a*0²+b*0+c=c.
 

Derudover ved man, at den vandrette linje (0,c) skærer parablen, i et nyt punkt A, og ønsket er at finde x-koordinaten til A - som betegnes x₀. Hermed har vi f(x₀)=c, og det indsættes i forskriften:

f(x)=ax₀²+bx₀+c=c  ⇔  ax₀²+bx₀=0 ⇔ x₀(ax₀+b)=0

Og af nulreglen fås:

x₀(ax⁰+b)=0  ⇔  x₀=0   V  ax₀+b=0  ⇔  x₀=0   V  x₀=-b/a

Koordinaten til A er hermed fundet, og da Toppunktets x-koordinat ligger midt mellem 0 og x₀, så fås:

½x₀=½*(-b/a)=-b/2a

Som du kan se, så er den anden metode meget meget  længere for forvirrende, end den, hvor vi sætter f'(x)=0.

Men tak for hjælpen ;D

Takker.
Wauw. Simpelt er kongen af forståelse ;)

#1

Det er forkert at tale om vendetangent i dette tilfælde. Der er netop ikke en vendetangent. Ved toppunktet er tangenten vandret, og det er det, der er det bærende argument, altså at der er lokalt ekstremum (i dette tilfælde også globalt ekstremum).

Hvor der er tale om en vendetangent, vender grafen fra at ligge på den ene side af tangenten til at ligge på den anden side af tangenten. Ved et punkt med en vendetangent er den 2. afledede f''(x) = 0. I tilfældet med en vandret vendetangent er både f'(x) = 0 og f''(x) = 0, som det f.eks er tilfældet med f(x) = x³ ved x = 0 .

Men for 2-gradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c , hvor a ≠ 0 , er den 2. afledede f''(x) = 2a overalt, dvs f''(x) ≠ 0, og parabelen har ingen vendetangent.

Og der findes mange andre (og måske endnu mere komplicerede) udledninger. Det er et spørgsmål om de værktøjer, man har til sin rådighed, når man skal udlede toppunktsformlen, og tit kommer den før differentialregningen - udledningen har så et andet matematisk formål.
Hvis jeg var dig, tror jeg, at jeg ville gennemføre det bevis, I har i bogen, og så bagefter slå ud med armene og sige, at det kunne være gjort nemmere: Argumentet skal selvfølgelig være det sædvanlige, at hvis  man vil finde max/min skal det søges hvor f '(x ) = 0 -  men husk argumentationen med f 's fortegn - det er IKKE nok at konstatere, at f '(x) = 0, når x = -b/2a, der kunne jo være vandret vendetangent.