Differentialligninger

Et linieelement er en lille stump af en tangent til en løsningskurve. Det bruges kun ved 1. ordens differentialligninger.Tit er det jo sådan, at der løber en løsningskurve gennem ethvert punkt i planen, så hvis du selv vælger en værdi for x og en værdi for f(x), så kan du ved hjælp af ligningen finde en værdi for f'(x). Det kan du bruge til at sætte en prik i (x,f(x)) og tegne et liniestykke med hældning f'(x) gennem prikken. Så har du lavet et linieelement.

Du kan nu fylde planen op med så mange linielmenter, du orker, og bruge dem til at skitsere nogle løsningskurver.

Du kan selvfølgelig ikke løse differentialligninger på den måde; men det giver et godt billede af, hvad en differentialligning er, og kan måske også danne grundlag for et gæt på en løsning. Ligner det en eksponentialfunktion, en sinus, en logaritme, en hyperbel ???

Hjalp det :-)

Et linjeelement er en "tripple" (x0, f(x0), f '(x0)), dvs. det bestemmer i princippet tangenten i P(x0,f(x0).

Hvis du tager et tilfældigt punkt (x0,y0) kan du ud fra differentialligningen bestemme dy/dx i x0, og altså tangenten for den løsningskurve, der går gennem (x0,y0). Da du skal bestemme f '(x0), må det vel kun være i forbindelse 1.ordens differentialligninger, at linjeelemeter er aktuelle.
Når du kender tangenten til en løsningskurve i x0, ved du, hvordan denne løsningskurve opfører sig lige i nærheden af x0, og det kan jo være smart. 
Hvis man ikke kan bestemme forskriften for løsningerne til differentialligningen kan et hav af linjeelementer give en ide om, hvordan løsningskurverne (integralkurverne) forløber, hvilket jo også kan være smart, men det kræver et trænet øje (mit er ikke trænet nok, må jeg indrømme).