differentialkvotienten for f(x)=x^2

Find differenskvotienten og foretag grænseovergangen h -> 0

 tretrinsregelen. Hvordan end i har lært den, det ser ud som om at den er anderledes på nogle gymnasier. 

Men sådan som jeg har lært den

1. find funktionstilvækst  Δy = f(x+Δx) - f(x)

2. find differenskvotien Δy / Δx = ( f(x+Δx) - f(x) )/ Δx

3. find differentialkvotien Δy/Δx → dy/dx  for Δx→0 

I dette bevis skal du finde, at f'(x) = 2x. Det første du altså gør, er at opstille en differenskvotient med forskriften (x²-x₀²)/(x-x₀) (en brøk!). Dernæst skal du omskrive tælleren x²-x₀² i denne brøk. For at gøre dette bruger du den tredje kvadratsætning (a+b)(a-b) = a²-b², dvs., at du omskriver x²-x₀² til (x+x₀)(x-x₀). Således får du en differenskvotient (brøk) som ser således ud: ((x+x₀)(x-x₀))/(x-x₀). Dernæst kan du så forkorte udtrykket x-x₀ i både tæller og nævner i differenskvotienten (brøken fra før nævnt), så du tilbage har x+x₀. Nu skal du så have fat på din viden om, at når x går uendeligt tæt på x₀ så finder du en grænseværdi for sekanten (differenskvotienten) i form af en tangent. Men hvis du kan forestille dig, at x jo går uendeligt tæt på x₀, så må x jo næsten antage samme værdi som x₀. Altså kan du tilnærmelsesvis skrive udtrykket x+x₀ som x₀+x₀ (nu er x jo 'omskrevet' til x₀). Og det må jo svarer til det samme som 2x₀. Således har du altså vist, at f(x) = x² er en differentiabel funktion, og at differentialkvotienten for funktionen er f'(x) = 2x.

Tak for svarene. Det hjalp mig lidt men er ikke den skarpeste i dette område xD. #3 hvordan kommer du frem til det du starter med? (x²-x_0²)/(x-x₀)

Det er skam helt forståeligt at beviset kan være lidt besværligt ... det er vist også lidt svært at forklare over en besked herinde ... men forstil dig, at jeg bruger (som jeg også skrev) den tredje kvadratsætning, altså (a-b)(a+b) = a²-b². Det overfører jeg så til x²-x₀², så jeg på den måde kan omskrive udtrykket og 'ophæve' andenpotensen. Dvs., at når jeg skriver (x-x₀)(x+x₀) så svarer det til (a-b)(a+b) i kvadratsætningen, og hvis jeg ganger udtrykket (x-x₀)(x+x₀) ud så får jeg igen x²-x₀², ligesom jeg får a²-b² i kvadratsætningen hvis jeg ganger a-b)(a+b) ud. Forstår du det? :) 

En funktion f(x) er differentiabel i x₀ , hvis differenskvotienten

(f(x₀+h) - f(x₀)) / h

har en grænseværdi for h gående mod 0. I så fald kalder man denne grænseværdi for differentialkvotienten af f i x₀, og denne betegnes f'(x₀) .

Her er funktionen f(x) = x² . Vi opstiller differenskvotienten i x₀ :

(f(x₀+h) - f(x₀)) / h = ((x₀+h)² - x₀²)/h =

     = (x₀² + 2hx₀ + h² - x₀²)/h = (2hx₀ + h²)/h = 2x₀ + h .

Lader vi h gå mod 0, er det klart, at differenskvotienten går mod 2x₀ . Differenskvotienten har derfor en grænseværdi for h gående mod 0, og dermed har vi vist, at funktionen f(x) = x² er differentiabel i ethvert x med differentialkvotienten f'(x) = 2x .

#6 Genialt det der. Det kan jeg helt sikkert bruge. tak =)

Hej - det ser ud til det er en noget gammel tråd det her, men håber én af jer kan hjælpe mig :-)

Sidder med nøjagtig samme spørgsmål, og undrer mig lidt over det i gør.

#6 - Andersen11, der hvor du går fra (2hx₀+h²)/h til 2x₀+h --- der fjerner du jo to led af h i tæller - må man det? Må man ikke kun fjerne ét eller er det mig der har misforstået noget der? :-)

#8

Der er ikke tale om at fjerne led. Brøken forkortes med h, dvs. man dividerer med h i både tæller og nævner.

Men du dividerer jo med h to gange i tæller, hvis man kan sige det sådan? :-)

#10

Jeg dividerer de to led i tælleren med h, fordi jeg også dividerer nævneren med h. Det ændrer jo ikke værdien af brøken, men det gør den simplere at arbejde med. Tallet h er en fælles faktor for de to led i tælleren, og det kan derfor sættes uden for en parentes og så forkortes ud med h i nævneren.

(2hx₀+h²) / h = h·(2x₀ + h) / h = 1·(2x₀ + h) / 1 = 2x₀ + h

Perfekt. Mange mange tak! Så tror jeg, jeg kan!