Differentation af eksponentialfunktioner

(xa)' = (e^a·ln(x))' = e^a·ln(x) · (a·ln(x))' = x^a * a/x = a*x^a-1

hvordan kan (e^a*ln(x))' blive til x^a?

Man tager ln til det først - dernæst invln til dette udtryk:

x^a = e^(ln(x^a)) (*)

ln(x^a) = a*lnx (jvf logaritmeregel) (**)

...men så er vi nødt til at vende tilbage igen vha
invln som er det samme som
at opløfte til e^x:

e^(ln(x^a)) = e^(a*lnx)




NB!

Pas på med din notation

for (e^a·ln(x)) er ikke det samme som

e^(a*lnx)


- men du mener velsagtens

(e^a*ln(x)) = (e^[a*ln(x)])




Duffy

Det bliver det skam heller ikke. Vi har derimod, at

d/dx[e^(a*ln(x))] = a*x^(a-1)

Du skal også lige huske regneoperationernes præcedens; bemærk, at det IKKE gælder, at

a*x^a-1 = a*x^(a-1)
e^a*ln(x) = e^(a*ln(x))

Eftersom e^x og ln(x) er hinandens inverse funktioner, har vi

e^(ln(x)) = x (1)

for x E R+

Ved hjælp af (1) og en velkendt potensregneregel indser man, at

x^a = [e^(ln(x))]^a = e^(a*ln(x))

Et bevis for, at

d/dx(x^a) = a*x^(a-1)

kan så gennemføres ved at differentiere den sammensatte funktion;

f(g(x)) = e^(a*ln(x))

hvilket naturligvis forudsætter kendskab til differentialkvotienterne af e^x og ln(x).

//Singularity