Haster: bevis for (f/g)(x)'=(f'(x0)*g(x0)-f(xo)*g'(x0))/(g(x0)^2

også kendt som brøkreglen?? eller findes der eventuelt et sted hvor jeg kan finde det på nettet?? link??

#0+1: Brug tre-trinsreglen til at bevise den.

Tretrinsregelen :

find funktionstilvæksten  Δy = f(x+Δx) - f(x)

find differenskvotienten Δy / Δx = f(x+Δx) - f(x) / Δx

find differentialkvotienten  Δy/Δx→dy/dx for Δx→0

 y =   f(x) / g(x)
Δy = f(x+Δx) / g(x+Δx) - f(x)/g(x)

fælles nævner

Δy = ( g(x)*f(x+Δx) - f(x)*g(x+Δx) ) / g(x)*g(x+Δx)

i tælleren vil vi nu prøve at splitte de to produkter, sådan at vi gerne skulle have g(x+Δx) - g(x) til at stå for sig selv og f(x+Δx) - f(x) , for det er jo netop dg og df, (ved ikke om det er misbrug af notation at skrive sådan). Men med det mener jeg at  df = f(x+Δx) - f(x) for Δx→0 og dg = g(x+Δx) - g(x) for Δx→0

Det virker måske ikke helt åbenlyst i første øjekast, men man kan lave et trik ved at lægge f(x)*g(x) til og trække det fra igen For så at faktorisere det ud.

Dette er kun tælleren, lad os lige se bort for nævneren et øjeblik.

g(x)*f(x+Δx) - f(x)*g(x+Δx) + f(x)*g(x) - f(x)*g(x) = g(x)* (f(x+Δx)-f(x)) - f(x)* (g(x+Δx) - g(x))

Håber ikke jeg har lavet nogle fejl indtil videre :P det må du selv lige tjekke.

Så kigger vi på nævneren

g(x)*g(x+Δx) → (g(x))² for Δx→0

Nu skriver jeg lige hele brøkken op igen, men jeg deler det op i to led.

Δy/Δx = g(x)/(g(x))² * (f(x+Δx)-f(x))/Δx - f(x)/(g(x))² * (g(x+Δx)-g(x)/Δx  <-- grunden til jeg gør sådan er fordi nu har vi f(x+Δx)-f(x) / Δx Og det ved vi går mod f'(x) for Δx→0

og ligeledes går g(x+Δx)-g(x) / Δx→g'(x) for Δx→0

Vi får altså g(x)*f'(x)/(g(x))² - f(x)*g'(x)/(g(x))²  og sætter vi på fælles brøkstreg igen: dy/dx = ( g(x)*f'(x) - f(x)*g'(x) ) / (g(x))²

Håber det kan bruges en lille smule :) Det var iøvrigt et meget sjovt bevis, det er første gang jeg har forsøgt.. jeg har også brugt næsten en halv time på at udtænke nogle af trinene :P Men hvis der er nogle ting der er helt skæve håber jeg folk træder til! Jeg vil nødigt forvirre de unge mennesker :P

se