differentialligninger

       N(t) = Ce^-kt + 600

1) Løs differentialligningen og benyt de to punkter til at finde k. Benyt dig eventuelt af desolve på lommeregneren.

2) Indsæt N=500 og k= den fundne værdi i din differentialligning og bestem da dN/dt.

3) Indsæt t=7 i din stamfunktion.

       N(t) = Ce^-kt + 600

       N(0) = C·e^-k·0 + 600 = 300

                 C·1 + 600 = 300

                 C = -300

hvorfor

      N(t) = -300e^-kt + 600
og
      N(5) = -300e^-k·5 + 600 = 500                             divider med (-100)

                  3·e^-k·5 - 6 = - 5

                  3·e^-k·5 = 1

                  e^-k·5 = (1/3)

                  e^k·5 = 3

                 5k = ln(3)

                  k = (1/5)ln(3) = 0,2·ln(3)

konklusion:

       N(t) = -300e^-kt + 600

      N(t) = -300·e^-0,2·ln(3)t + 600 = -300·(e^ln(3))^-0,2t + 600

      N(t) = -300·3^-0,2·t + 600

op og ned problemer i næstsidste linje

       N(t) = Ce^-kt + 600

       N(0) = C·e^-k·0 + 600 = 300

                 C·1 + 600 = 300

                 C = -300

hvorfor

      N(t) = -300e^-kt + 600
og
      N(5) = -300e^-k·5 + 600 = 500                             divider med (-100)

                  3·e^-k·5 - 6 = - 5

                  3·e^-k·5 = 1

                  e^-k·5 = (1/3)

                  e^k·5 = 3

                 5k = ln(3)

                  k = (1/5)ln(3) = 0,2·ln(3)

konklusion:

       N(t) = -300e^-kt + 600

      N(t) = -300·e^-0,2·ln(3)t + 600 = -300·(e^ln(3))^-0,2t + 600

      N(t) = -300·3^-0,2·t + 600

     dN/dt = 0,2·ln(3) ·(600-N)

 er rimelig forvirret ;s

jeg benytter Ti interactive til at løse ligningen.

Hvis jeg nu siger:

desolve(y'=k(600-y) and y(0)=300,t,y) er det så rigtigt?

Jeg får en løsning uden begrænsninger der hedder: integral(( (1.)/(k(600. - y)) ),(y))=t + @1

, Her kan jeg så finde @1 og derefter k?

Problemet er, at jeg ikke kan finde ud af, at sætte begrænsningerne på i Ti, for dem skulle jeg jo meget gerne have med fra starten.

mathon: hvor kommer C fra ? :S

se
 

Hvis vi nu løser den i hånden, er det måske nemmere at overskue.

Du har

dN/dt=k(600-N)

og omskriver da først til

dN/dt=-k(-600+N)

og sepererer da variablene

1/(-600+N)dN=-kdt.

Da integrerer du begge sider af lighedstegnet og opnår

ln(|-600+N|)=-kt+c

lille c er den abitrære konstant, der fremkommer ved et ubestemt integrale. Tag nu e på begge sider og få

-600+N=e^(-kt+c)

som du kan omforme til

-600+N=e^(-kt)*e^c

og så isolerer du N ved at

N=e^c*e^(-kt)+600.

Nu er du sådan set færdig, men det, Mathon så gør, er, at han sætter store C=e^c, så udtrykket forsimples en smule, så du har

N=Ce^(-kt)+600

Og så håber jeg, at det giver mere mening.

 tusind tak mathon og Economist! Det hjalp meget på forståelsen! Det vil jeg helt klart kunne bruge!

Nu er det blot hvordan man skriver det ind i Ti-interactive. Min lærer vil gerne have jeg benytter det program og dets funktioner:S

                       desolve(n' = k*(600-n),t,n)     --->   N(t) = C·e^-kt + 600

                       Define n(t) = C·e^(-k*t) + 600

                       solve(n(0)=300,c)                   ---> c = -300

                       define c = -300

                        solve(n(5)=500,k)                 --->  k = (1/5)·ln(3)

 mange tak for hjælpen!

Er glad for at der er nogen, der gider bruge deres søndag eftermiddag på lidende studerende ;)

fortsæt god weekend !:)

hmm hvordan finder man væksthastigheden ?