Substitution

I alle tilfælde skal du substituere t = nævneren. I den første altså t = x-7. I de 2 sidste opgaver kan du sætte et tal ud foran en parantes; men det er ikke nødvendigt.

Substitution i integralregning bruges til at gøre integralet simplere. Man skal efter integrationen så huske at substituere tilbage igen.

a. Substituer t = x-7 , x = t+7 , dx = dt

b. Substituer t = x+1 , x = t-1, dx = dt

c. Substituer t = 2x+1, x = (t-1)/2, dx = (1/2)dt

d. Substituer t = 2-x, x = 2-t , dx = -dt

:/ Hm... Kan I givet et eksempel ?

 substitution går i korte træk ud på at skifte variablen på en smart måde, så problemet bliver nemmere... Hvis du fx i første opgave vælger den nye variabel u=x-7,                                                (1)

Så er: du/dx=1   <=>   du = 1·dx     <=>    du = dx                                 (2)

(da x-7 differentieret mht. x giver 1)

Herefter kan alt med x'er i opgaven udskiftes med u'er:

∫(5)/(x-7)dx = ∫(5)/(u) du = 5 ∫(1/u)du = 5 ·ln(u)                                     (3)

Ønsker man svaret angivet i den oprindelige variabel (og det gør din lære nok) kan man nu uden problemer skifte tilbage igen:

5 · ln(u) = 5 · ln(x-7)                                                    (4)

Opskriften er altså:

(1) Find et udtryk for en ny variabel, u.

(2) Differentier udtrykket mht x og isoler dx.

(3) udskift alle x'er med u'er og løs problemet nemmere..

(4) Substituer x'erne tilbage i løsningen.

(5) Hvis du ikke kan få alle x'erne til at forsvinde, så du ender med en ligning med både x'er og u'er, har du valgt en forkert variabel, u.. Returner til (1) og prøv igen.. Jeg kan afsløre at du kan kopiere min måde at gætte u'et på i resten af opgaverne...

c.

se

det vil altså sige at a) er:

5 * ln(u) = 5 * ln(x-7) ?

d.

se

   Nu har du en gennemgang af de to sværeste.

   Prøv nu selv a. og b.

@#6

dvs at a) er:
                            5·ln|x-7| + k

og jeg får b) til:

(2/1)lnlx+1l+k... rigtigt ?

100000 gange tak for hjælpen :) nu kan jeg finde ud af substitution :D

@ #5 & #7:

Mathons to vedhæftede udregninger giver (helt korrekt) hhv. 2/3 * ln |6x+3| og -7/2 * ln |4-2x|, men kan nogen fortælle mig, hvorfor mit CAS-værktøj (Voyage 200) giver hhv. 2/3 * ln |2x+1| og -7/2 * ln |x-2| - ?
 

#12

Det er, fordi resultaterne er de samme pånær en konstant, som jo er tilladt, da det er ubestemte integraler. F. eks.

2/3 * ln |6x+3| = 2/3 * ln( 3*|2x+1| ) = 2/3 * ln(3) + 2/3*ln |2x+1| , og her dropper CAS-værktøjet konstanten 2/3 * ln(3) . Tilsvarende gælder for den anden funktion.

Ja - naturligvis

Godt set !

Tak