Polynomier

#0 -- Det er et polynomium af grad 4, og der er ikke nogen simpel formel til løsning af en 4.-gradsligning. Men hvis du kan gætte en rod, kan du reducere lignignen til en ligning af 3. grad. Og kan du gætte endnu en rod, kan du reducere ligningen til en 2.-gradsligning, som du kan løse. Prøv at gætte med meget simple hele tal.

Det må du bruger et CAS værktøj til. Der findes godt nok en metode til at løse fjerdegrads ligninger med; men det kræver matematik, som du ikke har haft og det er også ret besværligt.

Du kan også prøve at gætte, hvis der findes rationelle løsninger skal tælleren gå op i 5 og nævneren gå op i 4. Det efterlader muligheden ±1; ±5; ±½: ±5/2; ± 1/4; ± 5/4

Ok, så jeg skal foretage en polynomie division og derefter foretage en ny polynomiedivision med kvotientpolynomiet for så til sidst at løse den fremkommende 2. gradsligning? :)

Super! Tak skal I have :)

Men den ''nye'' andengradsligning er da bare det nye kvotientpolynomium, altså det der kommer anden gang?

Gøres nemmest med CAS-værktøj, - kommandoen er:

solve(4x⁴ + 8x³ - 9x² - 8x + 5 = 0 , x)

men umiddelbart "springer det i øjnene" uden yderligere beregning, at x=1 er en løsning

Herefter kan (med en del møje og besvær foretages en manuel division):

(4x⁴ + 8x³ - 9x² - 8x + 5)/(x-1) = 4x³ + 12x² + 3x - 5

I den fremkomne tredjegradsligning: 4x³ + 12x² + 3x - 5 = 0 ses det, at x = -1 er en løsning

En ny manuel division

(4x³ + 12x² + 3x - 5)/(x+1) = 4x² + 8x - 5

Den fremkomne andengradsligning  4x² + 8x - 5 = 0  , kan rimelig let løses til  x = -5/2  ∨  x = 1/2

Dermed er fjerdegradsligningen faktoriseret til (x - 1)(x + 1)(x + 5/2)(x -1/2) = 0

hvoraf rødderne kan aflæses til: x = 1  ∨  x = -1  ∨  x = -5/2  ∨  x = 1/2

CAS-værktøj ER lettest :-)

Hvis r₁ er rod i polynomiet P(x) går x-r₁ op i P(x), så du får et polynomium af lavere grad altså ikke noget med kvotientpolynomium

#5: Tusind tak! Stor hjælp! :D

#6: Ok :)