Fourierrækker, Differentialligninger, Forcerede oscillationer

Hej bruger af studieportalen

Dette er første gang jeg bruger dette, så bær over med mig, hvis min fremgangsmåde er en smule anderledes, ellers må i sige til så vil jeg forsøge at forklarer mig bedre.

Det skal lige siges at jeg bruger maple og derfor vil mine ligninger være i dette format og med 'w' mener jeg omega

Jeg har fået stillet en opgave at jeg skal finde den generelle løsning til y''+w^2*y=r(t), hvor r(t)= t+Pi for -Pi<t<0 og -t+Pi for 0<t<Pi

Jeg ved at rent figurmæssigt vil det danne en trekant puls, hvis det forudsættes at periode fortsætter i det uendelige. Derudover ved jeg at figuren spejler sig i y-aksen

Ved hjælp af Eulers har jeg fundet

a0 = Pi/2

an = 2/(Pi*n^2)-((2*cos(n*Pi))/(Pi*n^2))

bn = 0

og da den generelle formel for fourierrækker er

r(t) = a0+ sum(an*cos(n*t)+bn*sin(n*t),n=1..infinity)

Her ved jeg at sinus-leddet under summationstegnet bliver 0

det er så her jeg bliver i tvivl og det måske går den forkerte vej.

Jeg ved at a0 er en konstant og an også er en konstant, der variere med n, derfor vil jeg starte med at lave laplacetransformation på differentialligningen når den er sat lig med cos(w*t), jeg går ud fra at man gerne må sætte n lig med w da det er den også fremgår af differentialligningen

hvilket bliver s^2*Y+w^2*Y=s/(s^2+w^2) og solver for Y

Y=s/((s^2+w^2)^2) og laver invers laplace transformation

y(t) = (1/2)*((t*sin(w*t))/(w)

Det er så her jeg bliver i tvivl. skal jeg løse 'an' på samme måde som før og multiplicere dette på y(t) fundet ovenover?

Jeg ved ikke om jeg har brugt den rigtige fremgangsmåde, eller om jeg har gjort noget forkert undervejs. og hvordan skal jeg finde den generelle løsning i det hele taget? så vidt jeg husker har det noget med c1 og c2 at gøre, og dette kan jeg simpelthen ikke se i dette.

alle forslag, hjælp, hints ect. er velkommen.

Hilsen Nicolai