Differentialligning

Løs differentialligningen ved separation af de variable.

En eksakt værdi betyder et resultat som √2 eller ln(3), i modsætning til et numerisk resultat som 1,414 eller 1,099 som en lommeregner måske kommer ud med.

Kan du ikke vise ig hvordan jeg skal løse den?

#2

Altså mere end bare starthjælp til A?

Separer de variable i differentialligningen:

y' = sin(x)·y ,

y'/y = sin(x)

d/dx(ln(y)) = sin(x)

ln(y) = ∫ sin(x) dx + k

        = -cos(x) + k ,

y(x) = C·e^-cos(x)

Fastlæg konstanten C ud fra oplysningen "hvis graf går gennem punktet P(π/2;4)",

dvs 4 = C·e^-cos(π/2) = C·e⁰ = C . Løsningen er da

y(x) = 4·e^-cos(x)

                 (1/y)·(dy/dx) = sin(x)                              integrer med hensyn til x på begge sider

Tak - jeg er nu nået til d'eren og har fået problemer - får hvis jeg regner det via min lommeregner får jeg jo ikke den eksakte værdi - hvad gør jeg så

#5

Løs ligningen f'(x) = 0. Da y > 0, svarer det til

sin(x) = 0 ⇒ x = pπ , p ∈ Z .

Funktionsværdierne her er

f(pπ) = 4·e^-cos(pπ) = 4·e^{-(-1)^p} , p ∈ Z .

Funktionens minimum er da 4/e og maksimum er 4e .

Jeg ved ikke hvad det der p er, kan du forklare det uden det?

#7

p er et helt tal, som angivet ved p ∈ Z .

Man kan bruge et argument således: Funktionen f(x) har lokale ekstrema, hvor sin(x) = 0. I disse ekstremumspunkter er cos(x) enten = 1 eller = -1. Derfor har f maksimumsværdien 4e¹ = 4e og minimumsværdien 4e^-1 = 4/e .