Bevis: logistisk differentialligning (et "led")

 Heysa. sidder og prøver at forstå et bevis for en logistisk differentialligning, der tager sig ud således:

Jeg vil gerne bevise at y(t)= ( (b)/(a) )/(1 + c*(#e)^(-bt))   er en løsning til y'=y(b - ay)
Jeg har følgende hjælpefunktion: z=z(t)= (1)/(y(t)) 

Hjælpefunktionen differentieres:

z'=- (1)/((y)^(2)) *y'
z'=-(1)/((y)^(2)) *(y(b - ay)) - Hvor y' erstattes af y(b - ay)
z'=- (1)/(y) *(b - ay) - y i nævneren går ud med y's y
z'=-b* (1)/(y) +a - Der ganges ind i parentesen.
z'=-bz+a - Hvor 1/y erstattes af z

z(t) er altså løsning til z'=-bz+a, der er af typen a/b+c₁e^-bt 

z(t)=a/b+c₁e^-bt

1/y(t)=a/b+c1e-bt - erstatter z(t) med 1/y(t)

y(t)=1/(a/b)+c₁e^-bt 

y(t)=(b/a)/(1+c₁(b/a)e^-bt

Det er de to sidste jeg får problemer med at forstå. Hvordan går man fra 1 i tælleren, til b/a og hvordan får man "vendt rundt" på b og a i nævneren?

På forhånd tak!