Matematik
Similære og matrix
Der er givet to 3x3 matricer, hvor a∈R
[ 1 a2-1 0 ]
A = [ 1 -1 0 ]
[ 0 0 1 ]
og
[ 1 2 -2 ]
B = [ 0 a 0 ]
[ 0 0 -a ]
a) For hvilke værdier af a er A henholdsvis B similær med en diagonalmatrix?
b) For hvilke værdier af a er A og B indbyrdes similære?
___
Jeg har fundet egenværdierne til at være, 1, a og -a for både A og B, samt am(1)=gm(1)=1, am(a)=gm(a)=1, am(-a)=gm(-a)=1 for både A og B.
Nu er det så, at jeg ikke ved hvad jeg skal gøre.
Svar #1
31. oktober 2010 af Euroman28
Ja du ved jo godt for det første når du skal opstille diagnoal matricen, så egenværdierne i diagonalen fra venstre mod højre også er der nuller på resten af pladserne i matrisen.
Husk Hvis matricen A har en diagnonal matrix så er den diagnaliserbar og har diagonal matrix og simulær med den oprindelige matrix.
Der er Matematik i alt.
Svar #2
31. oktober 2010 af PMusen (Slettet)
Ja, det ved jeg godt. Man kunne også kontrollere ved at sige, Λ = V.1*A*V.
Men der bliver stillet 2 spørgsmål og det er for hvilke værdier af a, der undre mig lidt, da jeg tror at der skal søges 2 resultater hhv. opg. a og b.
Svar #3
31. oktober 2010 af Euroman28
Forsøg at finde egenvektorerne,
Prøv at opstille dem som en linearkombination af hinanden og uddrag a udfra det :)
Der er Matematik i alt.
Svar #4
31. oktober 2010 af PMusen (Slettet)
Ud fra mine egenvektorer, sat op efter et passende rækkefølge, ses det at a = 0, så bliver diagonalmatricen (1, 1, 1).
Når en linearkombination udføres, hvor kun den første ligning i A og B har variablen a, går jeg ud fra at vi sætter disse 2 ligninger lig hinanden? I så fald fås a1 = 2+√5 og a2 = 2-√5.
Kan svaret godkendes? Er nemlig ikke sikker på om det er rigtigt :)
Svar #5
31. oktober 2010 af Euroman28
Du kan prøve og teste dit resultat
Hvis A ~D og B ~ D så er det det korrekt værdi for a du har fundet...
Der er Matematik i alt.
Svar #6
01. november 2010 af PMusen (Slettet)
Jeg får ikke det rigtige.
Egenvektorerne er, for:
A:
[-a+1 a+1 0 ]
(-a, -a, 1) = [ 1 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
og
B:
[ 1 2/(a-1) 2/(a+1) ]
(1, a, -a) = [ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
Svar #7
02. november 2010 af Euroman28
Lige et hint here.
To matricer n x n form A og B er simulær såfremt de har samme karakter ligning og derfor ens egenværdier.
Der er Matematik i alt.
Svar #8
02. november 2010 af Euroman28
Det nemmeste er at bruge det faktum at
A simulær til B, så eksistere der ikke ikke-sigulær matrix P hvorom det gælder
P = B^-1 * A * B
Det giver en 3 x 3 matrix P hvor du kan uddrage en ligning der giver følgende 2 værdier for a
a = 1 og a = - 2 er indbydes simulærer.
Der er Matematik i alt.
Svar #9
02. november 2010 af Euroman28
Svaret på a)
Efter min bedste overbevisning 1 og -1
du anvender igen formlen
P = D^-1 * A *D
Så finder du en ligning som hedder -(a^2-1)
den satte jeg lig nu og fik a = -1 og a = 1
Ved at anvende disse to værdier for a respektivt fåes to matricer som er simulær med diagonal matricen
[-1,0,0]
D= [0, 1,0]
[0,0,1]
Der er Matematik i alt.
Skriv et svar til: Similære og matrix
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.