Parameterfremstilling

Parameterfremstillingen:

viser at det kendte punkt P₀ på linjen har koordinaterne: P₀(1,2)
samt at linjens retningsvektor er

skal du omskrive denne parameterfremstilling til linjens ligning, skal du bruge det kendte punkt og linjens normalvektor, som er tværvektor til retningsvektoren, - linjens normalvektor er således:

Nu indsættes normalvektoren og det kendte punkt i ligningen:

hvor a og b er normalvektorens koordinater og x₀ og y₀ er det kendte punkts koordinater.

Dette giver lignigen -7(x-1)+5((y-2)=0 ⇔ -7x+5y-3=0 ?
I så fald afstanden fra punktet til linjen være:

(|-7·10+5·(-4)-3|)/√((-7)^2+5^2 )=10,811 ?

Men hvordan finder man så afstanden, via spørgsmål 1 og 2 ?

afstanden dist(P,l) fra et punkt P(x₁,y₁) til en linje l: ax+by+c=0 kan bestemmes som:

Ja det er også det jeg har skrevet i #2, og fået til 10,811.

Men hvis man skal beregne dette, ved at opstille et udtryk for afstanden mellem P og punkter, der ligger på linjen l. Dette udtryk vil være en funktion(f) af t. Hvordan gør man så det ?
 

ja, min fejl, jeg havde ikke opdateret mit browservindue, så dit indlæg blev ikke vist.

Jeg skal lige tygge på det spørgsmål, så vender jeg tilbage...

jeg er lige ved at sammensætte et dokument...

Det lyder godt tak, håber det kan hjælpe mig med at komme videre med min opgave (:

se vedhæftede...

jeg håber, at det kan hjælpe dig videre :-)

TUSIND TAK FOR HJÆLPEN :)
Jeg forstår princippet nu, og er jeg RIGTIG taknemmelig over at du har brugt tid på at lave for mig, tusind tak (:

Bare lige et sidste spørgsmål, forstår ikke det sidste led i det du har skrevet på din TI-nspire. Du skriver at f(2/37) = 10,81. Hvordan kommer man fra f(2/37) til 10,81, det forstår jeg ikke helt. Hvad skal man taste ind på grafregneren for at få det ?

Som noget af det første definerer jeg forskriften for f i TI-nspire, - det gøres med definitionslighedstegnet :=

f(2/37) udregner simpelthen funktionsværdien af 2/37 eller sagt anderledes y-koordinaten til x=2/37 på grafen for f

Sorry ja, det burde jeg egentlig have sagt mig selv ...

Nu ved jeg godt, at jeg sagde sidste spørgsmål før. Men har en opgave til i forlængelse af denne, men bare om længden mellem to vindskæve linjer i rummet. Jeg følte mig egentlig klædt godt på, med din forklaring af denne opgave, men da jeg så læste min lærers lille ledetråd, mistede jeg den fornemmelse jeg havde af, hvordan opgaven skal løses. Så hvis du vil hjælpe mig med at komme i gang med opgaven, og jeg forventer ikke at du sætter det lige så meget op i detaljer som før, men bare så jeg lige kan komme i gang, for tror jeg har fattet selve pointen i det. Og hvis du ikke gider, så bare sig nej (:

Men i så fald, så lyder spørgsmålet på følgende:

Benyt ovenstående metode til at beregne afstanden mellem linjerne l og m givet ved de to parameterfremstillinger:
l : x = 4 + t
y = -1+ 3t
z = 5 - 2t

m: x = 2 - 2s
y = 1 + s
z = -4 + 2s
Vis at de to linjer er vindskæve.
Vi ønsker at bestemme afstanden mellem disse to vindskæve linjer.
a) Opstil et udtryk for afstanden mellem punkter på linjen l samt på linjen m. Dette udtryk vil være en funktion f(s, t) af s og t. Det er altså en funktion af 2 variable.
Den generelle teori for ekstremumsbestemmelse for funktioner af to variable er lidt kompliceret, men der er visse lighedspunkter i forhold til situationen med funktioner af en variabel. Ved funktioner af en variabel er det en nødvendig betingelse for eksistensen af ekstremum i et punkt, at den afledede funktion (f´) i dette punkt er nul. Ved funktioner af to variable definerer man to afledede funktioner nemlig f´s og f´t. Ved beregning af f´s differentier man med hensyn til s og betragter t som en konstant. Og tilsvarende ved beregning af f´t differentier man med hensyn til t og betragter s som en konstant.
Analogt som i tilfældet med en funktion af en variabel, er det en nødvendig betingelse for et ekstremum i et punkt, at begge de to størrelser f´s og f´t er nul i dette punkt.

b) Beregn f´s og f´t. Disse udtryk vil indeholde både s og t.
 

Og igen, tusind tak for hjælpen med det ovenstående !

Der gælder at:
Hvis linierne ikke er parallelle eller har et skæringspunkt er de vindskæve.

du skal altså undersøge om de er parallelle eller har et skæringspunkt.

Hvis du vil undersøge om linjerne er parallelle, skal du blot dividere x, y, z koordinaterne i linjernes retningsvektorer med hinanden. Hvis dette giver det samme tal i alle tre tilfælde (ved x, y og z) er de parallelle.

Alternativt kan du undersøge om retningsvektorernes krydsprodukt giver nul, hvilket betyder, at de (og dermed linjerne) er parallelle.

Men hvis man igen skal opstille et udtryk for en funktion med variable i forhold til måden man gjorde med en variabel ?
Jeg forstår nemlig ikke den hjælpetekst min lærer har givet mig ..

Afstandsformel mellem to punkter i rummet:

hvis du nu erstatter x,y,z'erne med udtrykket fra parameterfremstillingerne (som i det dokument, jeg uploadede tildig tidligere) vil det så ikke lede frem til et funktionsudtryk for afstanden mellem to punkter på hver sin linje?

Jo dette gør jeg så og får resultatet:

|l,m| = √(2-2s-(4+t))² + (1+s-((-1)+3t)² + (-4+2s-(5-2t)²
 = √(-2-2s+t)² + (2+s+3t)² + (-9+2s-2t)²

Denne ligning differenterier jeg så i både t og s, og får så:

d/dt = 28t-6s+44

d/ds = 18s-6t-24

Sætter jeg så hver af disse ligninger = 0 får jeg så:

f(t₀) = t = 0,214*(s-7,33)

f(s₀) = s = 0,333*(t+4)

Skal jeg så indsættes disse i hver af parameterfremstillingerne, for at få et punkt på hver linje eller hvad skal jeg gøre for at finde længden mellem linjerne?
Og kunne også godt tænke mig, at vide om det jeg har lavet indtil videre er rigtigt eller forkert ?

Du skal "bare" løse det sidste som to ligninger med to ubekendte for at finde værdierne for t og s, hvor afstanden mellem linjerne er mindst (skulle jeg mene)

jeg når frem til nogle lidt andre resultater, end du gør, men jeg kan have regnet forkert, - jeg vedhæfter et screendump fra mit CAS værktøj, så kan du selv kigge det igennem :-)

Det er da ellers et rimeligt "hardcore" regnestykke, - selv for et A-niveau :-)

Det var da rart at vide, at det ikke bare er mig der er snotdum :)
Men fandt fejlen, jeg havde lavet en fortegnsfejl, som nu er rettet. Og nu skulle jeg meget gerne have forstået det hele og lavet alle opgaverne, takket være din hjælp :)
Så igen, tusind tak for hjælpen!