Egenværdier og diff. operatorer

Prøv www.ventus.dk . De har en hel del gratis matematisk litteratur. For egenværdier skal du se efter lineær algebra og matricer.

 Okay, nu er jeg gået i gang med at læse lidt hist og her, og jeg må indrømme, at jeg er slået lidt tilbage. Dels pga. de mange begreber, dels fordi jeg ikke ved hvilken rolle de spiller ifht. hinanden. Kan du give en kort pædagogisk forklaring af følgende begreber, og hvordan de bruges inden for kvantemekanik?
-  Hilbertrum? - så vidt jeg ved et koordinatsystem med uendelig mange akser, hvor man har et indreprodukt som er skalarproduktet af 2 vektorer i rummet.
 - ifbt. hilbertrum hvilken rolle vektorer spiller her, og hvorledes forholdet er mellem vektorer og funktioner. Min lærer siger, at funktioner ER vektorer inden for hilbertrummet.
- Hvilken rolle egenværdier spiller?
- Hvilken rolle komplekse tal spiller, dvs. hvorfor man tillægger f.eks. schrödinger-ligningen en kompleks og imaginær-del.
Som sagt bare en kort forklaring, der giver et bedre overblik, så jeg kan systematisere min videre læsning bedre.

Man kan også sige at et hilbertrum er  en uendelig dimensional vektorrum. Elementerne kan godt være funktioner ikke tal som du kender den.

Egenværdierne fortæller hvilken fysiske størrelser det er mulig at observere.. For eks. giver egenværdierne for løsningen af schrödinger-ligningen de mulige energiniveauer i brint atomet.

I de fleste tilfælde spiller komplekse tal ikke den store rolle. Man splitter bølgefunktion op i en tidslig og rummelig del Ψ(x,t) = φ(x)e^-ikt , hvorefter den tidslige del ignoreres fordi man normalt arbejder med stationære tilstande. Der kendes nogle tilfælde hvor det spiller en større rolle. Jeg kender til Bohm-Aharanov effekten, hvor det er et samspil mellem elektroner og et magnetfelt. Et andet eksempel er sammenfiltrede tilstandsfunktioner. De blev fundet af Schrödinger; men først brugt af Einsteins i hans EPR paradoks fra 1935. Det kræver avanceret kvantemekanik at sætte sig ind i det.

Hvis du går ind i portalens matematik side, vil den allerførste på listen være en henvisning til relevante internetside. En af henvisningerne er til et meget omfattende  matematikside (Wolfram hedder det vist) Der kan du uden tvivl finde en meget bedre beskrivelse af Hilbert rummet end jeg kan give.