Matematik
Partiel differentiation
Hey jeg har lige en opgave jeg er gået i stå med.
Lad f(x,y) = a * 5^5 + b * x^3 * y^2, hvor a og b er konstanter.
a) Vis at x * df/dy + y * df/dy = 5 * f(x,y)
a'eren har jeg lavet.
b) Find differentialet df af funktionen f i punktet (1,1).
Benyt differentialet til at angive en tilnærmet værdi til f(1.01, 1.01).
Svar #1
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
Benyt, at
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
Ved beregningen af den tilnærmede værdi benyttes de partielle afledede i (1,1) sammen med tilvæksterne dx = 0,01 og dy = 0,01 .
Svar #3
19. november 2010 af Hami-D (Slettet)
Men når jeg skal sætte (1,1) ind i df/dx og df/dy, hvad gør jeg så med a og b?
Svar #4
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#3
Hvis du ikke kender a og b, kommer de jo til at indgå i resultatet.
Svar #7
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#6
Nej, ikke hvis funktionen er, som du har defineret den i #0 :
f(x,y) = a·55 + bx3y2
Her får jeg
∂f/∂x = 3bx2y2 og ∂f/∂y = 2bx3y ,
så ∂f/∂x(1,1) = 3b og ∂f/∂y(1,1) = 2b og dermed
df = 3b·dx + 2b·dy
Men det er nok en trykfejl/sjuskefejl for f(x,y), der nok snarere skal se således ud:
f(x,y) = ax5 + bx3y2 .
Ligningen, som denne funktion opfylder, er i øvrigt
x∂f/∂x + y∂f/∂y = 5f , ikke det, du skrev.
For denne funktion har vi
∂f/∂x = 5ax4 + 3bx2y2 , og ∂f/∂y = 2bx3y
så
∂f/∂x(1,1) = 5a + 3b og ∂f/∂y(1,1) = 2b , med
df = (5a+3b)dx + 2bdy
Svar #8
19. november 2010 af Hami-D (Slettet)
Haha der skulle have stået f(x,y) = a * x^5 + bx^3 * y^2 og ikke 5^5. :)
Det må du undskylde.
Svar #9
19. november 2010 af Hami-D (Slettet)
Men har stadig ikke a og b. :) er det muligt at regne ud uden?
Svar #10
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#9
Ja da, du får så et udtryk, hvori indgår a og b.
Svar #12
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#11
Der skal altså bruges nogle parenteser. Og du skal jo benytte, at
f(x+dx,y+dy) = f(x,y) + df
Svar #16
20. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#15
Nej da, svaret er
f(1,01 ; 1,01) = f(1,1) + df = (a+b) + (5a+3b)·0,01 + 2b·0,01 = (a+b) + 5(a+b)·0,01 = 1,05·(a+b)
Svar #17
20. november 2010 af Hami-D (Slettet)
Tror jeg forstår nu. Kan du også prøve at forklare med ord hvad du gør? :) Sådan så jeg kan det perfekt til næste gang? :)
Svar #18
20. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#17
Du kan vel se tilbage i tråden og se, hvad der foregår? Vi beregnede differentialet af funktionen og benyttede det til at beregne en tilnærmet værdi for funktionen i et nabopunkt.
Svar #19
20. november 2010 af Hami-D (Slettet)
"Benyt f(1,1) = a+b"
f.eks. det her? Hvordan fandt du ud af det?
Svar #20
20. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#19
Ved indsættelse i forskriften for f(x,y) = ax5 + bx3y2 fås f(1,1) = a+b .