Matematik
vektorrum
Hej jeg har haft lidt om vektorrum i dag, men jeg er lidt usikker på hvad det helt præcist er, og hvordan det er defineret:
generelt forstår jeg et vektorrum, som et rum hvor man kan lave de sædvanlige operationer på vektorer som adition, multiplikation med en skalar og multiplikation med andre vektorer samt nogle andre mindre væsentlige. Min lærer siger det er et rum, hvor man kan kombinere vektorer ud fra lineare funktionale: Men hvad er det helt præcist? Er det de dem som definerer, at man kan lave ovenfor nævnte operationer?
Desuden er jeg lidt lost i fbm. med hans videre snak omkring lineære vektorrum:
Hans udgangspunkt er et lineært vektorrum karakteriseret ved en række vektorer:
a, b, c ....
Han definerer et definerer et vektorrum hvor:
<alb> = {S(a) * [b], S(a) * c....}
(a,kb) = k(a,b), her er k en skalar
(a,b+c) = (a+c) + (b+c)
Jeg har lidt ved at forstå det hele:
Definerer man et vektorrum ved at tage en vektor som udgangspunkt (her a) og prikke den med alle de andre? Og de 2 nedenunder er vel de lineare funktionale? Og i samme forbindelse definerer han også et dualt vektorrum, som det vektorrum man får hvis man i stedet havde valgt en af de andre vektorer som udgangselement. Og i denne forbindelser definerer han også udgangselement som tilhørende den duale vektordimension.
Suma sumarum er jeg lidt forvirret, så hvis nogen kan sammenfatte kort, hvad der præcist menes med ovenstående, og i det hele taget hvad vektorrum og lineare funktionale er, ville jeg blive glad :-)
Svar #1
19. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
Et vektorrum V defineres altid sammen med et tallegeme L (ofte de reelle tals legeme R eller de komplekse tals legeme C) . Elementerne i tallegemet kaldes skalarer. Vektorrummet V skal være en ikke-tom mængde med elementer, vektorerne, der skal opfylde en række grundlæggende betingelser. Disse betingelser definerer addition af vektorer, og multiplikation af en vektor med en skalar.
En funktional er en funktion f: V → L , der afbilder vektorrummet ind i tallegemet.
Svar #5
19. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
okay så et vektorrum er produktet af en linear funktional, som virker på dens vektorer? Mens en dualvektor er den linear funktionale?
Svar #6
20. november 2010 af peter lind
Nej. Hvis du tænker på vektorer fra gymnasietiden, er dette begreb blevet udvidet. En udvidelse er at man kan have vilkårlige dimensioner. En anden udvidelser er udvidelse af de tal, der indgår. Det åbenlyse er her udvidelse fra reelle tal til komplekse tal; men det kan udvides endnu mere til for eks. at være funktioner.
Det duale rum får du så ved at se på afbildninger af vektorerne ind i de reelle tal. Disse udgør efter generaliseringen et vektorrum, som kaldes det duale rum. Som eksempel se på en almindelig tredimensionale vektor. Vektorafbildningen kunne være f1(x,y,z) =x, f2(x,y,z) = y, f3(x,y,z) = z.. Enhver lineær funktion af vektorrummet, kan så findes som en linarkombination af de 3 funktioner og alle 3 funktioner er nødvendige for at kunne finde alle lineære funktioner af vektorrummet ind i R
Svar #7
21. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
Så i et tredimensionalt rum med vektoren:
b = (2,4,6). Hvad ville den duale vektor så være? b(dual) = (2*f1,4*f2,6*f3) eller hvordan? Er det sådan linearkombination skal forstås? For så ville det også give mening, at min lærer kalder almindeligt euklidsk rum for selv-dualt - altså at den duale vektor også er indeholdet i R3.
Svar #8
21. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
Men hvad ville den duale vektor til f.eks. vektoren b= (2,4,6) i almindeligt euklidsk rum være? ville den være b(med den der krøllede ting over) = (2*f1,4*f2,6*f3)? For i så fald ville det give mening, at min lærer kalder R3 for selv-dual, altså at den duale vektor også er indeholdt i R3. Men kan du så give mig et eksempel på et vektorrum der ikke er selv-dualt?
Skriv et svar til: vektorrum
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.