Matematik
koblede differentialligninger
Hej alle sammen ,
jeg er i gang med at skrive SRP om kinetik og koblede reaktioner og skal dermed også skrive om koblede differentialligninger.
Er der nogle som kan forklare hvad det er? Jeg kan ikke helt finde noget om det.
Jeg har dermed også tre hastighedsudtryk som skal integreres og det forstår jeg slet ikke.
Jeg har den første som hedder
-d[A]/dt=k1[A] og så skriver de, at når de integrere den får de [A]=ae^-kt
Den næste hedder
d[B]/dt=k1[A]-k2[B] og når den er integreret k1a/k2-k1(e^-kt-e^-kt)
den sidste
d[C]/dt=k2[B] og når den er integreret a((1-k2/k2-k1)e^-kt+(k1/k2-k1)e^-kt))
Jeg kan ikke se hvordan de kan komme frem til disse tre løsninger ved at integrere dem.
Håber der er nogen som har forstand på koblede differentialligninger og kan hjælpe mig..
Har vedhæftet det i et dokument hvor det måske giver mere mening.
Svar #1
05. december 2010 af Yow! (Slettet)
jeg føler lige med her.... er også utrolog interesseret i dette spørgsmål/svar...
Svar #2
05. december 2010 af Andersen11 (Slettet)
Den første differentialligning er på formen
d[A]/dt = -k1·[A] , der jo integreres til
[A] = a·e-k1t
Den næste differentialligning er koblet sammen med den første ligning, da både [A] og [B] indgår. Indsætter vi løsningen fra den første ligning i den anden differentialligning, bliver denne
d[B]/dt = k1[A] - k2[B] = a·k1·e-k1t - k2[B]
Lægger vi (k1/(k1-k2))[A] til [B] , får vi
d((k1/(k1-k2))[A] + [B])/dt = -k12/(k1-k2)[A] + k1[A] -k2[B] = -k1k2/(k1-k2)[A] -k2[B]
= -k2·((k1/(k1-k2))[A] + [B]) , som har løsningen
(k1/(k1-k2))[A] + [B] = b·e-k2t , og dermed
[B] = -(k1/(k1-k2))·a·e-k1t + b·e-k2t
Svar #3
05. december 2010 af peter lind
Koblede differentialligninger betyder at man har flere funktioner, der skal findes, og nogle af funktionerne indgår i samme differentialligning. Du nævner selv et godt eksempel. I den første differentialligning indgår kun den ubekendte funktion A. I den anden indgår både A og B. I den tredje indgår B og C.
Når du har fundet en løsning til A ud fra den første ligning, kan du sætte resultatet ind i den anden differentiallignin. Du har nu en differentialligning, der kun indeholder den ubekendte funktion B, som du derefter kan løse som en ordinær differentialligning. Denne løsning kan nu sættes ind i den sidste ligning, som du derefter kan løse.
Der er flere metoder til at løse de enkelte ligning. Simplest er nok at bruge et CAS værktøj, hvis det er tilladt. Ellers kan du bruge separation af variable eller panserformlen.
Svar #4
06. december 2010 af neervig (Slettet)
Tusind tak for hjælpen :)
Det hjalp mig meget.
Jeg vil nu selv prøve at komme frem til [C], men måske jeg skriver igen hvis jeg ikke kan få det til at lykkedes ;)
Svar #5
07. december 2010 af Yow! (Slettet)
hej peter, har lige et spørgsmål:
du skriver: "Der er flere metoder til at løse de enkelte ligning. Simplest er nok at bruge et CAS værktøj, hvis det er tilladt. Ellers kan du bruge separation af variable eller panserformlen"
hvordan kan man løse de enkelte ligninger med panserformlen..???
Svar #6
07. december 2010 af peter lind
Jeg går ud fra betegnelserne i #2
Panserformlen giver den fuldstændige løsning til differentialligningen y' + a(x)y = b(x)
Sammenligner du med den første ligning er y = [A], a(x) = k1, b(x) = 0
I den anden ligning: y = [B], a(x) = k2, b(x) = c*e-k1x
Den tredje ligning kan integreres direkte. Den svarer til at a(x) = 0
I den næstsidste linje har jeg erstattet #2 a med c.
Desuden svarer x til t i opgaven.
Skriv et svar til: koblede differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.