Differentialligning

Har du benyttet, at A(t) = ∫ a(t) dt = -k₂t ? Derved er

y = e^-k₂t ∫ k₁C₁·e^(k₂-k₁)t dt + C₂e^-k₂t = k₁/(k₂-k₁)C₁·e^-k₁t + C₂·e^-k₂t

Ja, det har jeg.

(I)          k₁ / (k₂ - k₁) * C₁ * e^-k1t + C₂·e^-k2t 

(II)         k₁ / (k₂ - k₁) * C₁ * (e^-k1*t - e^-k2*t) + C₂*e^-k₂*t

ifølge facit, skulle løsningen være (II)

Kan man på en måde omskrive (I) til (II) ?

Jeg forstår ikke hvor faktoren (e^-k1*t - e^-k2*t) kommer fra?

#2

Det er jo det samme udtryk i de to ligninger med forskellige værdier af C₂ . Konstanten C₂ er en vilkårlig konstant, så derfor er det ensgyldigt at spalte et led fra, der går sammen med det første led.

#3

Det forstår jeg altså ikke, kan du formulere det på anden vis?
Hvorfor er det ensgyldigt at spalte et led fra?
Med fraspaltning af led; mener du da det led som er tilføjet i parentesen i (II)?
Hvad mener du med forskellige værdier af C2 i de to ligninger? C2 er da den samme i begge?
Vi er enige om, at både (I) og (II) består af to led.
Forskellen på (I) og (II) er at første led i (II) inkludere faktoren:  (e^-k1*t - e^-k2*t) hvor første led i (I) inkludere faktoren e^-k1t
 

#4

Vi har ligning (I) fra #2 :

y = k₁ / (k₂ - k₁) · C₁ · e^-k₁t + C₂·e^-k₂t

   = k₁ / (k₂ - k₁) · C₁ · (e^-k₁t - e^-k₂t) + (C₂ + k₁ / (k₂ - k₁) · C₁)·e^-k₂t

   = k₁ / (k₂ - k₁) · C₁ · (e^-k₁t - e^-k₂t) + C₂'·e^-k₂t    = ligning (II)

og så kald C₂' for C₂ .

#5

Okay, ja det giver mening. Men, hvorfor vælge at skrive løsningen som i (II) når det ikke er den fremtræden man får ved simpel indsætning i løsningsformlen?
Som jeg ser det, er det du gør i andet trin i #5 blot at addere med nul, for dermed at få en anden fremtræden af udtrykket. Er det korrekt?  Ved du om der er en særlig grund til, at man skulle vælge at gøre det?

#5

Ja, det er korrekt, at jeg trækker det samme fra i det ene led, som jeg lægger til i det andet led. Det må bero på den videre anvendelse, at der skulle være en fordel ved at skrive det på den måde.

Okay, tusind tak for hjælpen!