Maclaurinrækker

Jeg kan ikke åbne din docx-fil, så ved ikke om vi får det samme. Jeg får f(x) til

f(x) = S_{n=1}^{∞} ((-1)ⁿ⁺¹/(2n-1)!) * x²ⁿ⁺¹

For at finde den femte afledede, differentierer jeg bare fem gange :) Det eneste man skal passe på er at øge index med én, hvis første led i den række man differentierer er en konstant. Efter lidt skriblerier fås

f⁽⁵⁾(x) = S_{n=2}^{∞} ((-1)ⁿ⁺¹*(2n+1)*2n/(2n-4)!) * x^2n-4

Da første led i den fundne række er konstant er f⁽⁵⁾(0) blot denne konstant

f⁽⁵⁾(0) = (-1)²⁺¹*(2*2+1)*2*2/(2*2-4)! = -20

Tak det hjalp meget :)

Kan du forklare hvordan du kommer frem til:

f(x) = S_{n=1}^{∞} ((-1)ⁿ⁺¹/(2n-1)!) * x²ⁿ⁺¹

Jeg kommer selv frem til:
f(x) = S_{n=0}^{∞} ((-1)ⁿ/(2n+1)!) * x²ⁿ⁺³

Som dog ser ud til at give det samme (jeg er gået ud fra den kendte serie sin(x) og så ganget x² på serien.altså gået fra x²ⁿ⁺¹ til x²ⁿ⁺³

Jeg prøver lige at differentiere summen 5 gange og vender tilbage en gang i morgen :)

Ok jeg differentierer min række 5 gange og sætter så n=1  (mit laveste index) og får også -20... mangler kun lige at forstå 1 ting...hvorfor er det jeg sætter n=1 for at finde f⁵(0)?

Du sætter ikke n=1 for at finde f⁽⁵⁾(0). Forøgelsen af index sker når du differentierer den 3. afledede. Den 3. afledede er givet ved (jeg bruger dit index)

f⁽³⁾(x) = S_{n=0}^{∞} ((-1)ⁿ*(2n+3)*(2n+2)/(2n)!) * x²ⁿ

Af udtrykket kan du se at det første led i rækken er en konstant. Når du differentierer denne række (for at få den 4. afledede) skal det første led i den differentierede række derfor blive 0. Hvis du bare blindt differentierer udtrykket for f⁽³⁾(x) uden at øge index med én, får du

f⁽⁴⁾(x) = S_{n=0}^{∞} ((-1)ⁿ*(2n+3)*(2n+2)/(2n-1)!) * x^2n-1

men første led i denne række er

6*x^-1/(-1)!

så du får et udtryk med fakultet af -1, hvilket vist ikke giver mening (er ikke helt sikker på den påstand), og du får et led med x^-1 hvilket ikke kan lade sig gøre når du differentierer potensfunktioner med positive koefficienter. Så grunden til at index starter med 1 i rækken for den 5. afledede, er at du øger index med én når du differentierer den 3. afledede. Tilsvarende skal du hæve index til 2 hvis du får lyst til at differentiere den 5. afledede, idet første led i den 5. afledede er en konstant.