mikro - walras og POT

Betragt en simpel bytteøkonomi med to forbrugere A og B, der har nyttefunktioner, som er kontinuert differentiable og endvidere repræsenterer præferencer, der er monotont voksende og konvekse. Forbruger A ejer initialt beholdningen (ω_1A,ω_2A), mens forbruger B initialt ejer beholdningen (ω_1B,ω_2B), og de står begge overfor prissystemet (p₁,p₂).

En Pareto-optimal tilstand er da en mulig økonomisk tilstand, hvilket svarer til at udbud svarer til efterspørgsel således, at

x_1A+x_1B=ω_1A+ω_1B

x_2A+x_2B=ω_2A+ω_2B

er opfyldt, og hvor der ikke samtidig eksisterer en anden tilstand, for hvilken det gælder, at alle er stillet mindst lige så godt og mindst én forbruger er stillet bedre. 

En Walras-ligevægt er en mulig økonomisk tilstand

x_1A+x_1B=ω_1A+ω_1B

x_2A+x_2B=ω_2A+ω_2B

hvori det gælder, at begge (alle) forbrugere har nyttemaksimeret givet prissystemet p.

Den helt store og grundlæggende forskel på de to begreber er altså, at de relative priser tages i betragtning, når du skal finde Walras-ligevægten, mens de ikke er relevante i forhold til den Pareto-optimale tilstand.

Det gælder, at

1. Velfærdsteorem

Hvis alle forbrugere har monotont voksende (umættelige) præferencer, da vil en Walras-ligevægt også være en Pareto-optimal tilstand.

2. Velfærdsteorem

Hvis alle forbrugere har konvekse præferencer, da vil enhver Pareto-optimal tilstand kunne implementeres som en Walras-ligevægt.

men det er så at sige sammenhængen imellem begreberne og ikke definitionen på dem.

Husk i øvrigt, at definitionerne er en anelse anderledes, hvis du i stedet er i en Koopmans-model. 

hej, tak for svaret, men det medførte nogle nye spm. Bare så jeg er afklaret -en koopman er med produktion og flere forbrugere, mens en enkelt bytteøkn. er edworthbox med 2 forbrugere og 2 varer, ikke sandt?

samt et lille spm, når man skal nyttemaksimere anvendes genrelt Larange, men nogle gange kan Larange ikke anvendes pga. randløsning eller negativ løsninger - ex. ved perfekte substitutter med u(x1,x2)=min(x1,x2), hvor man vil få en randløsning - gnerelt skal man jo have pæne præferencer, men er der en måde hvorved man kan tjekke dette på, altså om der er en indre løsning?

En Koopmans-økonomi er en økonomi med en eller flere forbrugere og en virksomhed, ja. En Edgeworth-økonomi er det, der kaldes en simpel bytteøkonomi og består af to forbrugere og to varer, ja.

Du skal først og fremmest have styr på nyttefunktionerne og de tilhørende præferencer. En nyttefunktion af typen u(x₁,x₂)=min(x₁,x₂) repræsenterer præferencer, der er perfekt komplementer, men den er ikke differentiabel og præferencerne er i øvrigt heller ikke monotont voksende. Præferencer, der er perfekte substitutter, repræsenteres af en nyttefunktion af typen u(x1,x2)=ax₁+bx₂, hvor a og b er et reelt tal. En sådan nyttefunktion har muligvis randløsninger, men det kommer an på scenariet og en eventuel anden forbrugers præferencer.

Om du kan tjekke, at der er pæne præferencer. Ja, selvfølgelig. Du kan vise det både grafisk og matematisk, hvordan du gør er helt op til dig. Michael Teit har gennemgået det utallige gange! Varian har desuden nok skrevet det også, men jeg har ikke tjekket.

At der er pæne præferencer sikrer dig dog ikke imod, at der kan eventuelle randløsninger. Perfekte substitutter har eksempelvis pæne præferencer, men randløsninger kan der jo stadig være.

hej ok - synes det er "nemt" at se hvis det eksempelvis er perfekte sub eller komp, men det er mere når det kommer til de negative løsninger - nå men i hvert fald tak må lige kigger lidt mere i noterne - eller bladre tilbage i hukommelsen.. ej kender du også michael, sjovt, eller.. ja..

men tak i hvert fald.

eller nej faktisk et allersidst spm! hvis du synes det er træls så bare ignorer mig.. men ellers så læs videre:

lMRSl= p1/p2 - og fortæller tradeoffer ml vare 1 og 2 - i nogle af opg. finder man direkte efterspørgselen ud fra MRS, ved ikke om det er muligt kort at forklare hvordan det hænger sammen?

Det hænger sådan sammen, at du altid - når du benytter dig af Lagrange-optimering - vil opleve, at |MRS|=p1/p2, hvorfor vi er nogle, der aldrig skriver Lagrange-ligningen op, men springer dette skridt over og hopper ind direkte, hvor substitutionsforholdet imellem varerne er lig med de relative priser. 

Hvis vi skal tage et kort eksempel med en Cobb-Douglas funktion, har vi, at vi ønsker at løse maksimeringsproblemet:

max u(x₁,x₂)=x₁x₂

u.b.b. p₁x₁+p₂x₂=m

Dette gør vi ved at opskrive Lagrange-ligningen

L(x₁,x₂,λ)=x₁x₂-λ(p₁x₁+p₂x₂-m)

og differentiere først med hensyn til x₁ og x₂

∂L/∂x₁=x₂-λp₁=0 <=> x₂=λp₁

∂L/∂x2=x₁-λp₂=0 <=> x₁=λp₂

og hvis vi dividerer disse op i hinanden, får vi

x₂/x₁=p₁/p₂

som jo lige netop svarer til |MRS|=p₁/p₂. Ved at benytte denne betingelse helt fra start af, kan vi altså springe en hel del beregninger over.