Egenværdier til 3x3 matrix

Du skal bruge determinanten

1-t     1      0

1      2-t     0

0        0    p-t

determinanten skal blive 0 for t = en egenværdi, så du skal løse ligningen

(p-t)*( (1-t)(2-t) - 1*1) = 0

Hvordan får du det sidste led 1*1? Hvad er E i denne matrix?

I matricen er a₁₂ = a₂₁ = 1. Produktet af dem indgår i determinant udregningen.. Determinanten er (p-t)*determinanten i øvre venstre af matricen i #1. E er matricen

1   0   0

0   1   0

0   0    1

Ganger du den med t får du

t   0   0

0   t   0

0  0   t

Trækker du den fra matricen i #0 får du matricen i #1

Hvordan kom du frem til matricen E i #3?

Jeg får determinanten til at være:

det(A(p)) = (1-t)*((2-t)*(p-t)) - p +1

Men, determinanten i ligningen i #0 står på formen det(A(p) - t*E)

Skal man så også tage deteminanten til egenvektoren? Er forvirret nu :S

Matricen E er defineret  som den matrix, jeg har angivet. Du er nød til at omskrive til et polynomium for at finde egenværdierne.

Du skal nu finde løsningerne til ligningen og dermed finde egenværdierne. Iøvrigt er det ikke smart at gange de p-1 ind. Du kan nemlig så bruge 0-reglen til at finde løsningerne.

Når du har fundet egenværdierne sætter du dem ind i (A-tE)x = 0, og finder løsningerne og dermed egenvektorerne.

Så man skal i princippet trække t fra diagonalen i #0, som starter øverst til venstre og går ned nederst til højre. Det er jeg med på. Men, det er bare, hvordan du får konstrueret ligningen i #2, som jeg ikke forstår. Hvorfor får vi forskellige determinanter, heh?

Kan du beskrive hvad du gør, detalje for detalje (hvis det ikke er for meget forlangt)?

Jeg har brugt en rækkeudvikling efter sidste række eller sidste søjle. På siden #http://matleks.infa.dk/index.php?id=3&no_cache=1&tx_lfmatleks_pi1[word]=799 kan du se hvordan man laver en rækkeudvikling efter første række. Da alle rækkeelementer eller søjleelementer er 0 undtagen det sidste får man kun et resultat ≠ 0 for det sidste led, hvor der skal ganges med determinanten øverst til venstre i den oprindelige determinant.

På siden http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html er der flere detaljer om determinanter. Det inkludere en fuldstændig formel for en 3×3 matrix

Rækkeudvikling er helt klart det smarteste at benytte i denne matrix, da det ses, at tredje række udelukkende indeholder 0'er og et enkelt p. Men du kan sagtens finde determinanten uden blot ved at regne den ud som normalt. Der findes en lille huskeregel til, hvordan determinanter i 3x3-matricer udregnes, kender du den? Det er en smule nemmere med den, for den eksakte formel, som #10 linker til, er da ikke til at huske.

Ud fra den er det klart, at determinanten må være

det(A(p)-tE)=(1-t)(2-t)(p-t)-(p-t)=(p-t)((1-t)(2-t)-1)=(p-t)(2-t-2t+t²-1)=(p-t)(-t²-3t+1)=(t-p)(t²+3t-1)

Du finder da egenværdierne ved at løse det karakteristiske polynomium, som er defineret 

det(A(p)-tE)=0 

hvorfor

(t-p)(t²+3t-1)=0

som du relativt nemt løser ved hjælp af nulreglen.

#11

Der er en fejl i udregningen af det karakteristiske polynomium, idet det bliver (fra #11)

(p-t)·((1-t)(2-t)-1) = (p-t)(t² -3t +1) = (p-t)·((t-(3/2))² - 5/4)

#12 Sorry, det blev vist for sent. En helt åbenlys fortegnsfejl i næstsidste udregning. Tak for rettelsen.