Approksimation. Bevis hjælp

Hvad er sammenhængen? Hvad er r og p ?

Skal du vise, ikke at, men om argumentet af (( z + i ) / ( z - 1 ))   er lig med  π/2  ?

Nej. Det er økonomi,

r er realrenten og pi er inflationen.

1+r = (1+i) / (1+pi)

Er approsimativt lig r = i - pi

Jeg ved jeg skal bruge en log approksimation. Jeg har en note om det jeg forstår den bare ikke

Jeg har vedhæftet noten, det står på side 5 og 6. og det jeg vil vise er på side 9.

Håber i kan hjælpe

Har jeg fået vedhæftet noten ???

Kan ikke selv se det ?

Den ligger os på dette link

www.business.aau.dk/oecon/undervisning/noter/vaekstr2HB.pdf

#3

Et sted i dokumentet kaldes den nominelle rente for i , p.9.

Og der står jo, at man bruger approksimationen (14) , dvs

log(1+r) ≈ r , hvor log(x) må være den naturlige logaritmefunktion.

Så får man jo af

(1+r) = (1+i)/(1+π), at

log(1+r) = log(1+i) - log(1+π), og dermed, ved brug af approksimationen (14)

r ≈ i - π

Men hvordan ved jeg at

log(1+r) er lig r ???

Skal jeg ik bruge hældningen for log `?? som er vist på figuren

Det er første led i en Taylor rækkeudvikling. Af definitionen på differentialkoefficienten og at differentialkvotienten for  ln(x) er 1/x, som bliver 1 for x= 1 har du (ln(1+r)-ln(1)/r -> 1 for  r-> 0  og altså for små r  (ln(1+r)-ln(1))/r ≈1 og dermed ved at gange med r  ln(1+r)-ln(1) = ln(1+r)  ≈ r

Den afledede af ln(x) giver jo hældningen af tangenten, så jo du kan også bruge den.

Altså.

Jeg skal benytte at differentialkvotienten for ln(x) er 1/x ??

for at vise at ln(1+r) = r.

Kan man ikke bare sige at ln(1+r)=ln(1)+ln(r) = 0 + ln(r). Men hvorfor er så ln(r) = r ???

Undskyld Peter forstår det ikke helt

ln(1+r) ≠ ln(1)+ln(r) så dit forslag dur ikke.

Der gælder at (f(x+h)-f(x))/h -> f'(x) for h -> 0. Det er simpelthen definitionen på differentialkoefficient. Det betyder at der for meget små værdier af h gælder  (f(x+h) - f(x))/h ≈ f'(x)  Ganger du med h får du f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h. Dette skal du så bruge med f(x) = ln(x) og dermed f'(x)=1/x, x =1 og h = r

okaa nu forstår jeg en smule.

Jeg er med til at vi har

f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h.

Og til sidst falder jeg igen lidt af ?

Jeg skal nu vise at ln(1+r) = r

Hvordan gør jeg det ??

Du har nok skrevet det jeg forstår det bare stadig ikke. Håber du vil skærer det helt ud i pap for mig ?

Hmm. Jeg tænker lidt på...

Jeg har denne.

f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h.

og så har jeg at f(x+h) = f(1+r)

Dvs. mit x er lig 1 og h er lig r.

f(x) = ln(x) og dermed f'(x)=1/x, x =1 og h = r

da er f'(x) = 1 da x=1 og h er lig r.
 

Da fås:

f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h ≈ 1*r = r

Er dette rigtig eller mangler der noget teori ??

Det er meget vigtigt det er helt rigtigt, håber du vil  hjælpe mig med det.

Må jeg komme med et indspark ?             

# 9  Egentlig er det middelværdisætningen, der benyttes:  hvis f er kontinuert i [ a ; b ] og differentiabel i                               ] a ; b [  findes der et punkt   c  ∈ ] a ; b [   hvor

(*)     f´(c)  =  ( f(b) - f(a) ) / ( b - a ) .

Anvendes (*) på funktionen  ln ( 1 + x ), findes der så et  c , hvorom der gælder:             0 < c < x

Hermed  ln ( x + 1 )    =   (  1 / ( 1 + c ) ) * x            ⇒         x / ( 1 + x ) <  ln ( 1 + x )  <  x

Det forudsættes at    0 < x < 1  så vi får:       1 / ( 1 + x )  =  ( 1 - x ) / ( 1 - x² )   > 1 - x   ⇒     x - x²  <  ln ( 1 + x )  <  x     ;

for x-værdier < 1 forsvinder ( - x²) så at sige.

Det gjorde mig lidt forvirret.

Jeg har nu gjort følgende.

Jeg har denne

f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h

Jeg skal jo vise at ln(1+r) = r.

dvs jeg har at h=r og x=1

Skal jeg så bare diff f(x)=ln(x) hvilket giver 1/x og når jeg så har at x=1 så får jeg at f´(x) =1

og jeg har at h=r

Dermed får jeg at

f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)*h = 1*r=r

Er dette rigtigt???

#13

Man approksimerer grafen for funktionen f(x) = ln(1+x) med tangenten til grafen i punktet (0 , f(0)). Denne tangent har ligningen

y = f'(0)·(x -0) + f(0)

Nu er f(0) = ln(1) = 0, og da f'(x) = 1/(1+x) har vi f'(0) = 1. Dermed har vi tangentens ligning

y = x

og dermed har vi tilnærmelsen

ln(1+x) ≈ x