Snapseglas og integralregning

Du skal bruge V = π∫₀⁵f(x)²dx

Okay, tak :-) 

Har du nogen ideer til hvordan man laver b'eren?

Jeg formoder, at f(x)  roteres omkring x-aksen.

Volumen-formlen for et omdrejningslegeme:   V_x  =  Π  * _N∫⁵ (3 * √x)² dx    og lad N → 0  ( lodret tangent i (0,0)  ) 

100 cl  =  1 liter  =  1000 cm³

Når stamfunktionen til f er fundet, sættes øverste integrationsgrænse til x_o ( < 5 ) som skal findes, og værdien af integralet skal så være halvdelen af dét, du fik, da du integrerede over hele intervallet.

b)
                π· ₀∫^h(3√(x))²dx  =  (1/2)·π·₀∫⁵(3√(x))²dx

                     ₀∫^h x dx = (1/2)_·0∫⁵ x dx

                     (1/2)·h² = (1/4)·5²

                     h² = (1/2)·25

                     h = 5/√(2) ≈ 3,54

.

Mange tak for jeres svar!

#4: Når jeg indtaster π· ₀∫^h(3√(x))²dx  =  (1/2)·π·₀∫⁵(3√(x))²dx i mathcad og beder den om at isolere h, får jeg h = 3,299. 

?

                    solve(π*∫(3·√(x))^2,x,0,h) = (1/2)*π*∫(3·√(x))^2,x,0,5),h) | h>0 and h<5

#7

                    solve(π*∫((3·√(x))^2,x,0,h) = (1/2)*π*∫((3·√(x))^2,x,0,5),h) | h>0 and h<5

Jeg er ikke helt med... Er det indtastningen på en lommeregner? Jeg har nemlig kun en TI-30XB - Det er derfor, jeg bruger Mathcad /: Har du noget bud på, hvad jeg gør forkert i #6? 

Beregner man rumfanget af det fulde snapseglas, fås, som vist i #4, at

V = π·9·(1/2)·5² = 353,43 cm³ = 35,3 cl ≈ 1 øl

Hvis man i stedet antager, at glasset fremkommer ved at rotere funktionen f(x) omkring y-aksen, fremkommer et mere elegant glas, og vi får glassets rumfang til

V = π·5²·f(5) - ₀∫⁵ 2πx·f(x) dx = π·5²·3·√(5) - 2π·3·(2/5)·5^5/2 = 105,37 cm³ = 10,5 cl ,

der også forekommer mere realistisk for et snapseglas.

Beklager!

Nu kan jeg se, hvor forvirringen opstår - Jeg har oplyst funktionen forkert.

Funktionen er ikke f(x) = 3*√x men f(x) = ³√x. 

Ved rotering omkring x-aksen får jeg:

a) 

V = 27,558 cm³ = 2,76 cl

b) 

h = 3,299 cm 

Kan det passe??

#8

          f(x) = x^1/3

                    solve(π*∫(x^(2/3),x,0,h) = (1/2)*π*∫((x^(2/3),x,0,5),h) | h>0 and h<5

 #13 - Hvorfor siger du x^(2/3)? Det er da ikke stamfunktionen til x^1/3?

Jeg kan ikke forstå, hvorfor jeg ikke kan få samme resultat i Mathcad /:

Hvis vi er enige om, at funktionen hedder  y  =  x^(1/3)  og intervallet går fra 0, og at der roteres omkring x-aksen, har vi:

Volumen i intervallet [ 0 ; x ]   :    π * _o∫^x (t^(1/3))² dt      =    (  ( 3 * π ) / 5 ) * x^{( 5/3 )}         =      0,6 * π * x^{( 5/3 )}     

# 0  b)

# 15 løses m.h.t. x :     V  =  0,6 * π * x ^{( 5 / 3 )}      ⇔     x  =  10^t          hvor t  =  0,6 * (log V - log 0,6 - log π )

Formlen kan bruges, hvis glasset skal inddeles med målestreger.