Integraler

dy / dx  er grænseværdien for ( f(x₀ + h) - f(x₀)) / h   for  h → 0      og hedder differentialkvotienten af y m.h.t. x.     

dy / dx  =  f´(x)   dvs.  dy  =  f´(x) dx     så vi samler (integrerer) alle infinitesimale bidrag til

f(x) =  ∫ dy  =  y  =  ∫ f´(x) dx

Det lange integraltegn er egentlig et langt S, som står for sum.    

 dy = f´(x) dx så vi samler (integrerer) alle infinitesimale bidrag til

Kan du forklare dette lidt grundigere? Hvad er meningen med at få dx over på højre side? Og hvorfor er dy = f´(x) dx alle infinitesimale bidrag?

Du siger også:

f(x) = ∫ dy = ∫ f '(x) dx

Hvorfor skal man skrive dx?

                                 _b
                       limes ∑f(x_i)Δx   ≈  _a∫^bf(x)dx                                                           hvor dx er infinitesimal
                       ^{Δx→0 i=a}

som knytter an til den middelsum med infinitesimal intervalbredde dx, som integralet er defineret som

Kan du forklare det på en anden måde, for jeg forstår det ikke. Vi lærer ikke begreberne i gymnasiet. Kun regnemetoderne og beviserne. Hvad betyder infinitesimal?

Den geometriske tolkning af det bestemte integral er som bekendt arealet af punktmængden afgrænset af funktionen, x-aksen og integrationsintervallet.

Omkring et punkt x₀ på x-aksen lægges et interval af bredden |x - x₀| < ε, hvor ε → 0, men dog stadig positiv. f(x₀) er den til x₀ svarende y-værdi, og dette smalle, infinitesimale, rektangel, har arealet  f(x)*|x - x₀| , eller, når intervallet under grænseovergangen bliver til (dx),   f(x)dx. Ved at summere alle disse "små" produkter sammen, fås det samlede areal, eller værdien af det bestemte integral. Derfor skal (dx) med som en faktor til alle bidragene til summen.

Tusind tak