Maj-opgave

2 opløftet i (feltnummer -1)

Hvad mener du?

på 3. felt:

2^(3-1)

Kan du ik forklare mig sådan du gjorde det. Jeg har været væk på ferie så jeg har ik fået lavet alle de der ting i matematik som vi normalt gennemgår!

#4

På det næste felt lægges der det dobbelte af, hvad der blev lagt på det foregående felt. Derfor ser starten af skakbrættet således ud:

Felt 1: 1 riskorn
Felt 2: 2·1 = 2 riskorn
Felt 3: 2·2 = 4 riskorn
Felt 4: 2·4 = 8 riskorn
Felt 5: 2·8 = 16 riskorn
osv

For at løse opgaven skal man vide, at et skakbræt indeholder 8·8 = 64 felter fordelt i et kvadrat. Find nu frem til, hvor mange riskorn, der skal lægges på det sidste felt, og gang så det antal med 20 mg .

Jamen skal jeg så gøre sådan her: 1*2= 2 hele vejen op til jeg får det første tal altså fx. 1 til 64. Altså 64*2. Kan jeg ikke bare ikke gøre sådan her?

I alt på skakbrættet: 1,84467E+19 riskorn

På det sidste felt: 9,22337E+18 riskorn

-og med en vægt på 0,02g pr korn, giver det 184467,4407 megatons riskorn, på det sidste felt.

Opgaven kan løses ret elegant og uden brug af computer/grafregner.

Først ser vi, at der på felt nr. n ligger 2^n-1 riskorn. Altså på felt nr. 1 ligger der 2^1-1 = 2^0 = 1 riskorn. Og på felt nr.2 ligger der så 2^2-1 = 2^1 = 2 riskorn, på felt nr.3 ligger 2^3-1 = 2^2 = 4 riskorn og på felt nr.4 ligger 2^4-1 = 2^3 = 8 riskorn.

Dernæst ser vi, at der er 64 felter på skakbrættet. Dvs. at summen (som vi kan kalde "S") af riskornene kan skrives:

S = 1+2+4+8+16+ ... + 2^63-1+ 2^64-1 (x) - Dette er vores første vigtige ligning, derfor tegnet ("(x)") ud for den, så vi lettere kan henvise til den senere.

Hvis vi nu ganger denne sum med 2 på begge sider af lighedstegnet (det er tilladt), så får vi:

2S = 2(1+2+4+8+16 + ... 2^63-1 + 2^64-1)

Og ganger vi 2 ind i parentesen på højresiden fås:

2S = 2+4+8+16+32+ ... 2^63 + 2^64 ......... Hvor vi har benyttet, at a*a^n = a^n+1 - derfor er 2*2^n-1 = 2^n

2S = 2+4+8+16+32+ ... 2^63 + 2^64 (xx) - Dette er vores anden vigtige ligning - derfor markeringen "(xx)" ud for den, så vi kan henvise til den nedenfor.

......... Hvad sker der nu, hvis vi trækker den første ligning - (x) - fra den anden ligning ("(xx)") ?? Det er en regneoperation der er fuldstændig tilladt, sålænge vi trækker venstresiden fra venstresiden og højresiden fra højresiden...

Vi får da:

2S - S = [2+4+8+16+32+ ... 2^63 + 2^64] - [1+2+4+8+16+ ... + 2^63-1+ 2^64-1] (XXX) - Hvor jeg har sat kantet parentes om udtrykkene fra højresiderne fra hhv. Anden ligning og Første ligning for at gøre det lidt mere overskueligt. Og sat tegnet "(XXX)" ud for ligningen, da det er den vigtigste ligning i hele dette "bevis".

Venstresiden af ligningen (XXX) er let nok at regne ud: 2S - S = S.

Men højresiden ser umiddelbart lidt mere skræmmende ud. MEN - det er kun tilsyneladende.

Hvis man kigger på tallene i parenteserne vil man se, at man kan "parre" minus-stykkerne, så man tager første tal i første parentes - som er 2 - og trækker andet tal i anden parentes - som er 2 - fra. Ligeledes kan man "parre" resten af tallene der skal trækkes fra hinanden, så man trækker 3. tal (4) i anden parentes fra 2. tal (4) i første parentes, og trækker 4. tal i anden parentes (8) fra 3. tal i første parentes, og trækker 5. tal i anden parentes (16) fra 4 tal i første parentes.... (husk at vi trækker hele højresiden fra første ligning (x) fra hele højresiden fra anden ligning (xx)

Når man har lavet alle disse "parringer" af tal fra anden parentes der trækkes fra tal fra første parentes, så har man lavet 63 parringer af "minus-stykker", der alle giver 0.

De sidste 2 tal man IKKE har "parret" er (-1) fra anden parentes og 2^64 fra første parentes.

(Der er 64 tal i hver parentes fra højresiderne i hhv. ligning 1 (x) og Ligning 2 (xx)... Og vi har "parret dem skævt", så vi har "rykket" talrækkerne i forhold til hinanden, så vi fik en masse minus-stykker, der alle gav 0... MEN - Dét at vi "rykkede talrækkerne" i forhold til hinanden gjorde, at (-1) "stod alene" på første plads i Anden parentes [fra ligning (x)] og vi kun nåede op til at "parre" 2^63 fra Anden parentes [fra ligning (x)] med det næstsidste tal i Første parentes, som var 2^63. Det SIDSTE TAL i Første parentes [fra ligning (xx)] er 2^64.)

Dvs. at højresiden af ligningen (XXX) er lig 2^64 -1 (!!!).

Så vi har altså udregnet både venstresiden og højresiden af ligningen (XXX), og får samlet:

S = 2^64 -1

Dette er altså summen af riskornene, som kongen skulle betale bonden. Og det er MANGE riskorn - helt præcist 18.446.744.073.709.551.615.

Hvis du syntes min forklaring/bevis/udregning var lidt forvirrende, så kan du prøve at tjekke siderne:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wheat_and_chessboard_problem

http://mathworld.wolfram.com/WheatandChessboardProblem.html

- De redegør dog for udregningen i ret kortere form - Wiki-siden er relativt nem at forstå, selvom du ikke kender så meget til avanceret matematik eller matematiske symboler, men Wolfram-Math-siden kræver kendskab til lidt mere avanceret matematisk analyse ("calculus") - hvis du får blod på tanden af Wolfram-sidens hurtige løsning på problemet, kan du jo tjekke videre på http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html , hvor der forklares teorien om "Geometriske rækker" - en ret nyttig teori, som kan bruges til mange ting (korn-tælle-problemet er bare ét eksempel på et problem fra virkelighedens verden, der kan "oversættes" til at handle om Geometriske Rækker).

Håber min MEGET lange post kan bruges til noget!

Til SPØRGSMÅL 2 om hvad riskornene på sidste felt vejer, så ved vi jo fra første ligning (x), at sidste led i summen, dvs. det antal riskorn der lå på sidste felt på skakbrættet var 2^64-1.

Ganger vi dette med 20 mg fås:

2^64-1 * 20 mg = 2^64-1 * (2*10 mg) = (2^64-1 * 2)* (10 mg) = 2^64*10 mg

Og hér bruger vi så tallet fra vores udregning af summen af riskornene på hele skakbrættet (XXX), som var 2^64 -1 = 18.446.744.073.709.551.615... Da vi har trukket 1 fra 2^64 i dette tal, må 2^64 være lig 18.446.744.073.709.551.615 + 1 = 18.446.744.073.709.551.616... Og ganger vi dette tal (som var 2^64) med 10 mg fås: 180.446.744.073.709.551.616 mg.

Fra Wolfram-artiklen om Geometriske Rækker (http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html) kan man se beviset for, at den geometriske række S_n=1 + r² + r³ + r⁴ + ... + rⁿ er givet ved:

S_n = (1 - rⁿ⁺¹)/(1 - r)

... beviset for denne generelle formel er faktisk præcis samme fremgangsmåde som "beviset" for det specifikke problem med kornene på skakbrættet, hvor man multiplicerer summen med r på begge sider af lighedstegnet, og så trækker "den oprindelige ligning" S_n = 1 + r² + r³ + r⁴ + ... + rⁿ fra ligningen hvor man har multipliceret med r på begge sider af lighedstegnet... Så ender man med det generelle udtryk der kan bruges for alle r'er og n'er.

Nåmen hvis vi ser på korn-summen, så har vi jo, at:

S_n=S₆₃ (den sidste potens i rækken - rⁿ - er jo 2^64-1=2⁶³ , så n=63 og ikke 64)

Derudover ser vi let, at r=2, da det er potenser af to der summeres for hvert felt på skakbrættet (at fordoble igen og igen svarer til at opløfte i potenser af 2 der hele tiden stiger med 1).

Så vi har vores n og vores r, og kan altså indsætte i formlen for geometriske rækker:

S₆₃=(1 - 2⁶³⁺¹)/(1 - 2) = (1 - 2⁶⁴)/(-1) = 2⁶⁴ - 1