Matematik
Monotoniforhold
Jeg skal bevise, at hvis f '(x) < 0 i et interval, så er f aftagende i intervallet. Men jeg kan ikke finde beviset i min grundbog, er der en som kan hjælpe mig med beviset?
Svar #2
16. september 2013 af Andersen11 (Slettet)
Det følger af middelværdisætningen for en differentiabel funktion. Hvis funktionen f(x) er kontinuert på et lukket interval [a;b] og differentiabel på det åbne interval ]a;b[ , så findes der et c i det åbne interval ]a;b[, så at
f '(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) .
Hvis f '(x) < 0 i et interval ]a;b[ , betragter vi vilkårlige x1 og x2 i intervallet ]a;b[ med x1 < x2 . Funktionen f(x) er kontinuert på intervallet [x1;x2] og differentiabel i det åbne interval ]x1;x2[ . Der findes derfor et ξ i intervallet ]x1;x2[, så at
f '(ξ) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) .
Det er oplyst, at f '(x) < 0 i hele intervallet ]a;b[ . Derfor er f '(ξ) < 0 , og da x2 > x1, er x2 - x1 > 0 , og derfor er
f(x2) - f(x1) < 0 , eller
f(x2) < f(x1) ,
hvilket viser, at funktionen er strengt aftagende.
Skriv et svar til: Monotoniforhold
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.