f er strengt voksende på hvert interval?????

Find f'(x) og bestem fortegnet for f'(x) . Hvis f'(x) > 0, er f strengt voksende overalt, hvor den er defineret.

Overvej, hvorfor der skal gælde x ≠ nπ , n∈Z

 bestem fortegnet for f'(x) ??? hvad mener du med det?

#2 -- Beregn f'(x) og bestem fortegnsvariationen for f'(x) .

            f '(x) = -1/x² - (-sin²(x) - cos²(x))/sin²(x) = -1/x² + 1/sin²(x) = [x² - sin²(x)] / (x²·sin²(x)) =
                                                                                                                      (x+sin(x))·(x-sin(x)) / (x·sin(x))²

nævneren
                     (x·sin(x))² > 0 for x≠n·π

tælleren
                     (x+sin(x))·(x-sin(x)) > 0  da x>sin(x) for x∈]n·π;(n+1)·π[

kan du forklarer hvad der sker ?

således er                    
                      f '(x) > 0 for    ∀x ∈ ]n·π;(n+1)·π[   n∈Z

hvorfor
                      f(x) er strengt voksende

Må jeg spørge hvorfor man går viderer med dette:

= [x² - sin²(x)] / (x²·sin²(x)) = (x+sin(x))·(x-sin(x)) / (x·sin(x))²  ??

behøves heller ikke -
men var er pædagogisk valg

f '(x) = -1/x² - (-sin²(x) - cos²(x))/sin²(x) = -1/x² + 1/sin²(x)

men er det ikk i orden at sige det her ^^ og da man så ved at /sinx/ < /x/ - så må det betyde at -1/x² < 1/sin²(x) og hvis dette er sandt så må f '(x) > 0 - hvilket vil sige at f(x) er voksende ?

#9

Det er ikke helt rigtigt sluttet. Derimod kan du slutte således

|sinx| < |x| ⇒ sin²(x) < x² ⇒ 1/sin²(x) > 1/x² ⇒ -1/x² + 1/sin²(x) > 0 ⇒ f'(x) > 0 ...

Jeps , sin²(x) < x² har jeg også filtret med ind på papiret (: .

vil du ikk prøve at kigge på denne:

b)

Bevis, at ligningen f(x) = 0 ikke har nogen løsning i (0,π) og at den har præcist én løsning i (π,2π) ? for samme opgave .

f '(x) = -1/x2 - (-sin2(x) - cos2(x))/sin2(x) = -1/x2 + 1/sin2(x... hvordan får i til dette ?? :S

Med hjælp fra Den trigonometriske grundrelation (idiotformlen).

sin2(x) + cos2(x)=1

Jeg tillader mig lige at bumpe den her tråd.

Når jeg differentierer funktion 1/x - (cos(x)/sin(x)) får jeg:
 

-1/x + 1 + (cos(x)^2/sin(x^2))

Er det en omskrivning der skyldes at i får noget andet?

Mvh,

#14

Det skyldes nok, at du ikke har differentieret korrekt. Man har

(1/x)' = -1/x² , og

(-cos(x)/sin(x))' = (sin(x)·sin(x) + cos(x)·cos(x)) / sin²(x) = 1 / sin²(x)

Jeg betroede mig for meget til mit program.

Ved håndregning (brøk-regel) får jeg det du har skrevet.

Tusind tak :)

#15

er det ikke meningen man skal bruge L' hopitals regel som at lim_x→₀(f(x)) skal man tage og differentiere både tæller og nævner hver for sig? sidder med opgaven nu her :) 

#17

Jo, det er korrekt at man ved benyttelse af l'Hôpital's regel ved en brøk differentierer brøkens tæller og nævner særskilt.