Matematik
Egenværdiproblem
Hej,
Jeg skal bestemme ω i følgende egenværdiproblem: ([k] - ω2 [m]) {θ} = {0}
Ovenstående udtryk laves: ([m]-1[k] - ω2 [I]) {θ} = ([A] - λ [I]) {θ} = {0}, hvor [A] = [m]-1[k] og λ = ω2
For ikke trivielle løsninger, sættes det([A] - λ [I]) = 0
Hvis:
[m] = | 3mL2 2mL2 mL2 |
| 2mL2 2mL2 mL2 |
| mL2 mL2 mL2|
[k] = | 3mgL 0 0 |
| 0 2mgL 0 |
| 0 0 mgL |
[m]-1[k] - λ [I] = | 3g/L - λ - 2g/L 0 |
| -3g/L 4g/L - λ - g/L |
| 0 - 2g/L 2g/L - λ |
så giver determinanten et tredjegradspolynomium, som er uløselig for = 0, når λ isoleres. Kan det virkelig passe eller har jeg lavet noget forkert?
Tak på forhånd.
Svar #2
25. april 2014 af Haxxeren
#1
Resultatet skal give:
ω1 = 0,644798 √(g/l)
ω2 = 1,514698 √(g/l)
ω3 = 2,507977 √(g/l)
men jeg kan ikke engang få det løst vha. et CAS-værktøj.
Svar #3
25. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
Man finder den karakteristiske ligning
6 -18λ + 9λ2 - λ3 = 0
med rødderne
λ = 0,41577455678348 , 2,29428036027904 , 6,28994508293748
svarende til
ω = 0,644805829 , 1,514688206 , 2,507976292
Svar #4
25. april 2014 af Haxxeren
#3
Hvordan kom du frem til det (den karakteristiske ligning)? CAS-værktøjet er lidt forvirret.
Svar #6
25. april 2014 af Haxxeren
#5
Jeg kan se, at du har divideret igennem med g/L, men hvorfor har du ikke skrevet λ/(g/L)?
Svar #7
25. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det er jo uden betydning for bestemmelsen af egenværdierne. Enheden for λ er så g/L .
Du kan vel selv finde ud af at skrive det mere detaljeret, hvis du har behov for det. Her drejer det sig om at hjælpe dig med at løse opgaven.
Svar #8
25. april 2014 af Haxxeren
#7
Ja, men det nytter ikke noget, når man alligevel ikke forstår det. Hvorfor har g/L ikke en betydning for egenværdierne?
Svar #9
25. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Det har jo ikke betydning for den matematiske løsning af ligning. Min ligning skal så formelt betragtes som en ligning i den ubekendte λ' = λ/(g/L) som jeg så for nemheds skyld kaldte λ . Du må selv finde ud af at stille det op mere detaljeret.
Det drejer sig om at beregne en simpel 3x3 determinant og finde rødder i et 3.-gradspolynomium med et CAS-værktøj.
Skriv et svar til: Egenværdiproblem
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.