Kompleks løsning

Konstanterne C₁ og C₂ er vist komplekse konstanter, så C₁' og C₂' er blot nye komplekse konstanter.

#1

For at løse differentialligningen: mx'' + cx' + kx = 0,

antages, at x(t) = Ce^st er en løsning, hvor C og s er konstanter (uden at vide, hvad de er).

Indsættes løsningen i differentialligningen, får vi den karakteristiske ligning:

ms² + cs + k = 0

Går vi ud fra, at der er 2 rødder til den karakteristiske ligning, kombinerer vi begge rødder til at definere den endelige løsning. Hvis rødderne er: s_1,2 = -c/(2m) ± √((c/(2m))² - km), er løsningen:

x(t) = C₁e^s1·t + C₁e^s2·t, hvor C'erne stadigvæk er konstanter (uden at vide, hvad de er)

Rødderne viser sig at kunne omskrives til:

s_1,2 = -ζ ± √(ζ² - 1),

hvor jeg gerne vil undersøge løsningen, når ζ < 1.

Jeg kan ikke helt se, hvordan C'erne skulle være komplekse?

Se (case 1):

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

#2

Nej, men den sammenhæng fremgik jo ikke af oplysningerne i #0.

Du mangler vist lige en faktor ω_n på højresiden i dit udtryk for s_1,2 .

Men i C₁' = C₁+C₂ og C₂' = i·(C₁-C₂) er det vel klart, at C₁' og C₂' ikke begge kan kan være reelle, hvis C₁ og C₂ er reelle. I øvrigt skal funktionen der ganges på C₂' være "sin", ikke "cos".

#3

Det er helt korrekt, at jeg både har glemt faktoren ω_n og at "cos" skal erstattes med "sin" som C₂' skal ganges ind på. Er det korrekt forstået, at konstanterne C₁, C₂ og C₁' er reelle, mens C₂' er kompleks?

Hvis man er interesseret i den reelle løsning, kan man så nøjes med at tage det første led?

#4

Det er ikke klart, at C₁ og C₂ er begrænset til at være reelle, for i den generelle løsning kan eksponentialfunktkionerne jo være komplekse. Hvis man kun er interesseret i reelle løsninger, skal man så vælge C₁' og C₂' , så den samlede løsning er reel.

#5

Jeg er ikke helt med.

Hvis vi bruger begyndelsesbetingelser som x(t = 0) = x₀, så får man C₁' = x₀ og x'(t = 0) = x₀' giver

C₂' = (x₀' + ζω_nx₀)/(√(1 - ζ²) ω_n). Begge konstanter giver reelle værdier, er vi enige om det?

#6

Ja, men de underliggende konstanter C₁ og C₂ er ikke begge reelle.

#7

Det er nemlig det, der forvirrer mig. Jeg forstår slet ikke, at vi kan tillade os at sætte C₂' = i·(C₁ - C₂) og stadigvæk få en reel konstant ud som i #6. Jeg kan ikke helt overskue det.

Vil du ikke prøve at skære det lidt mere ud i pap og prøve at fortælle, hvad der er reel og hvad der er kompleks? og hvilken antagelse, der ligger bag C₂' = i·(C₁ - C₂)?

#8

I den generelle løsning (2.69) (det vedlagte i #2) er C₁ og C₂ komplekse konstanter. I tilfældet, hvor ζ < 1 , må C₁-C₂ være rent imaginær, og C₁+C₂ reel, for at give anledning til reelle løsninger på formen i Case 1.

#9

Hvor ved du allerede ud fra (2.69), at C₁ og C₂ er komplekse konstanter?

#10

Eksponentialfunktionerne er komplekse, så konstanterne C₁ og C₂ må være komplekse for at kunne få reelle løsninger ud af det.