Matematik

Differentialligning

08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet) - Niveau: A-niveau

Et kar med saltvand tilføres løbende en saltopløsning, mens der samtidig løber saltvand ud af karret.

I en model kan udviklingen i saltmængden i karret beskrives ved en funktion S, der er løsning til differentialligningen: , hvor S(t) er saltmængden (målt i kg.) til tidspunktet t (målt i minutter). Det oplyses, at der er 30 kg. salt i karret til tidspunktet t=0

a) Bestem en forskrift for S

b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 60 kg. salt i karret

Jeg er klar over, at der er en tråd om dette, men jeg forstår det stadig ikke. Det skal siges, at jeg benytter TI Nspire, hvis det gør nogen forskel :-)
Jeg ville være rigtig glad, hvis I vil hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Løs differentialligningen (hvordan den nu ser ud). Benyt oplysningerne til at bestemme integrationskonstanten. Læs i bogen om differentiallignnger og om hvordan de løses.

Se for eksempel https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=1252094 hvor hele opgaven er formuleret og også løst.

Svar #2
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

Tak for svaret, men som jeg skriver, er det netop den tråd, du henviser til, jeg ikke forstår :-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv så at forklare, hvad det er, du ikke forstår.

Svar #4
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

I den anden tråd lyder svaret sådan:

desolve( s' =1,5 - (2/(100+t)) * s) , t, s)

(mærketegnet ' findes som selvstændigt tegn, brug [2nd] knappen).

Dette giver en funtion af S(t) med en konstant @xx. Benyt at S(0) = 30, dvs. løs ligningen og find konstanten @xx.

(du kan jo evt. omdøbe @xx til f.eks. c)

Indsæt denne konstant på @xx's plads i din endelige funktion S(t).

Men når jeg benytter desolve sådan her: deSolve(s'=1.5-((2)/(100+t))*s and s(0)=30,t,s)
får jeg: s=((0.5*(t^(3)+300.*t^(2)+30000.*t+600000.))/((t+100.)^(2)))
Jeg er så i tvivl om, hvad det næste, jeg skal gøre er :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Opgaven er Opg 12 i dette eksamenssæt

http://uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF12/Proever%20og%20eksamen/120531%202stx121%20MAT_A.ashx

Differentialligningen er

$\frac{\textup{d}S}{\textup{d}t}=1,5-\frac{2}{100+t}\cdot S\, ,\, S(0)=30$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Dernæst skal man i b) løse ligningen

S(t) = 60 .

Svar #7
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

Ja. Det er også det, jeg skriver i mit spørgsmål? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Så opstil ligningen og løs den.

Svar #9
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

Men det er netop det, jeg ikke ved, hvordan jeg skal gøre.

Brugbart svar (1)

Svar #10
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt den fundne løsning til at opstille ligningen S(t) = 60 , dvs.

0,5·( t³ + 300t² + 30000t + 600000 ) = 60·(100+t)² ,

som er en 3.-gradsligning i t. Da du har et CAS-værktøj, skulle det ikke volde nogen problemer.

Svar #11
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

Tak, nu tror jeg, jeg forstår opg. b.
Men hvad er så løsningen til a?

Brugbart svar (1)

Svar #12
08. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det er jo den forskrift, som din lommeregner har givet dig i #4.

Svar #13
08. maj 2014 af Khummelshoej (Slettet)

Nårh... Det var det jeg ikke forstod.
Tusind tak for hjælpen, selvom jeg var lidt tungnem!

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.