Matematik

Integralopgave

11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP. Jeg sidder med denne opgave:

$\int \frac{8x - 12}{x^{2} -3x + 7}$

Jeg er kommet så langt her:

$u = x^{2} - 3x + 7, u' = \frac{du}{dx} = 2x + 3$

$du = 2x - 3x \cdot dx$

Er der nogen der ved, hvad jeg så skal gøre nu?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. maj 2014 af peter lind

Brug at 8x-12 = 4(2x-3)

Svar #2
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Hvordan kan jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

Du kan sætte 4 udenfor parentes, så

du skal beregne 4 * (2x-3 / x^2 - 3x + 7)

Bemærk hvordan tæller er differentialkvotienten af nævner.

Sæt x^2 - 3x + 7 lig t. t ' = 2x - 3. dt = 2x - 3 dx

Substituer

4 * (1 / t)

integralet er da

4 * ln(t)

4 * ln(x²-3x+7)

Svar #4
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

$u = x^{2} - 3x + 7, u' = \frac{du}{dx} = 2x + 3 \rightarrow du = 2x + 3x \cdot dx$

Så jeg sætter 4 udenfor og integrerer derefter:

$4\cdot \int \frac{1}{u}du = 4\cdot ln(u)$

Og så substituerer jeg tilbage, således at jeg får:

$F(x) = 4 \cdot ln(x^{2} -3x + 7) + k$
Sådan?

Svar #5
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Men hvordan kan jeg komme frem til:

$\int \frac{1}{u} du$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

I det følgende anvender jeg begrebet "t" som substitutionsvariablen.

Du havde at t = x² - 3x + 7.

Ved dt/dx finder vi differentialkvotienten, således at dt / dx = 2x - 3, og vi ganger igennem med dx, således at dt = 2x - 3 dx.

Dermed kan du istedet for --> $\frac{2x-3}{x^2 - 3x + 7}$ dx ..... sige at nævneren jo er vores "t" og tælleren + dx er vores "dt", hvorfor du netop får

$\frac{1}{t}$ . dt

Svar #7
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Okay, det giver mening med nævneren, men hvordan bliver tælleren 1?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

Altså, i den oprindelige tæller står der jo bare (2x - 3) * dx, men dx sætter man almindeligvist bare udenfor brøken, således at der står $\frac{2x-3}{x^2-3x+7}$ * dx.

Da vi fik, at dt var lig med (2x - 3) * dx, jamen så kommer der til at stå $\frac{dt}{t}$ .... men igen, så sætter vi almindeligvist dt udenfor brøken, således at vi får 1 i tælleren, og så ganger vi bare brøken med dt, altså --> $\frac{1}{t} * dt$ . Det er jo det samme.

Svar #9
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Okay, det giver vist meget god mening - tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

En anden måde at anskue det på er, at i stedet for at sige dt = 2x - 3 dx, at vi i stedet dividerer igennem med funktionen, således at vi har

$\frac{dt}{2x-3}$ = dx

Vi kan nu substituerer ovenstående (begrebet til venstre) ind i stedet for dx, således at vi får to brøker.

$\frac{2x-3}{t} * \frac{dt}{2x-3}$

eller

$\frac{(2x-3)dt}{t *(2x - 3)}$

Og så går funktionsudtrykkene jo ud med hinanden, og vi kan igen sætte dt udenfor brøken, således at der står 1 i tælleren.

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. maj 2014 af mathon

i oversigt
$\int \frac{8x - 12}{x^{2} -3x + 7}dx$

sæt
$t=x^2-3x+7{\color{Red} > 0}$ og dermed $4dt=\left (8x-12x \right )dx$

så du har
$\! \! \! \! \int \frac{8x - 12}{x^{2} -3x + 7}dx=\int \frac{1}{x^{2} -3x + 7}\left ( 8x - 12 \right )dx=4\cdot \int \frac{1}{t}dt=4\cdot\ln(t)+k=$

$4\cdot \ln(x^2-3x+7)+k$

Svar #12
11. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Tak for jeres hjælp - jeg synes jeg begynder at forstå det. Er der en af jer der kan finde ud af at skrive en opgave op, som jeg kan prøve at øve mig på? :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

(5x^3 + 3x) * cos(1.25x^4 + 1.5x^2 + 400)

Integrer.

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. maj 2014 af AskTheAfghan

Hvis du ønsker at fortsætte fra din fremgangsmåde, kan du gøre på følgende måde:

Først har du altså du = 2x - 3x dx. Du kan gange med 4 på hver side, får du 4 du = 8x - 12 dx. Man får dernæst

∫ (4 du) / u = 4 ∫ (1/u) du = ...

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. maj 2014 af Amril (Slettet)

Jeg tror den ged er barberet nu.

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Der skal parentes omkring: du = (2x - 3) dx , og 4 du = (8x - 12) dx .

Helt enkelt har man

$\int \frac{8x-12}{x^{2}-3x+7}\, \textup{d}x = \int \frac{4\, \textup{d}(x^{2}-3x+7)}{4x^{2}-3x+7}=4\cdot \ln (4x^{2}-3x+7)+k$

Trådstarter: Man må ikke udelade differentialet i integralet. Man skal kunne se, hvilken variabel, der integreres efter.

Skriv et svar til: Integralopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.