integralregnig

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. maj 2014 af peter lind

Find ligningen for en linje, der går gennem (0,a) og (h,b). Brug dernæst formlen for beregning af overfladen af et omdrejningslegeme. Lav evt. en tegning, så du kan se hvordan det foregår

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. maj 2014 af mathon

Da volumenformlen for en kegle
med højden h og radius r
er

$V_{kegle}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot \pi \cdot r^2$

haves for keglestubben med højde h, radierne a og b, a < b og den afskårne kegles højde x:

$V_{keglestub}=\frac{1}{3}\cdot \left (h+x \right ) \cdot \pi \cdot b^2-\frac{1}{3}\cdot x \cdot \pi \cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot h \cdot \pi \cdot b^2+\frac{1}{3}\cdot x \cdot \pi \cdot \left (b^2-a^2 \right )$

      for det lineære forhold
                                              $\frac{x}{h+x}=\frac{a}{b}$
      haves
                                               $\frac{x}{h}=\frac{a}{b-a}$

      og
                                                $x=\frac{a}{b-a}\cdot h$
      dvs
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! V_{keglestub}=\frac{1}{3}\cdot h \cdot \pi \cdot b^2+\frac{1}{3}\cdot \left (\frac{a}{b-a}\cdot h \right ) \cdot \pi \cdot \left (b-a \right )\left ( b+a \right )=\frac{1}{3}\cdot h \cdot \pi \cdot b^2+\frac{1}{3}\cdot a\cdot h \cdot \pi \cdot \left( b+a \right )=$

$\frac{1}{3}\cdot h\cdot \pi \cdot \left (a^2+ab+b^2 \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. maj 2014 af mathon

Tænkes keglestubben klippet op langs c og udfoldet
til en plan flade
er denne begrænset
af
            buestykkerne s = 2π·a og S = 2π·b
            og siderne c
            Hver af buestykkerne inddeles i n lige store stykker nummereret fra 0 til n forbundet med
            forbindelseshjælpelinjer, så den krumme overflade opdeles i n trapezer.

            Et approksimeret udtryk for den krumme overflades areal
            er
                          $A=\sum_{0}^{n}\frac{1}{2}\cdot c\cdot \left ( \Delta s+\Delta S \right )=\sum_{0}^{n}\frac{1}{2}\cdot c\cdot\Delta s+\sum_{0}^{n}\frac{1}{2}\cdot c\cdot\Delta S$

             som for n → ∞
             har middelsummen
                                                   $A=\int \frac{1}{2}c\, ds+\int \frac{1}{2}c\, dS=\frac{1}{2}c\cdot \int ds+\frac{1}{2}c\cdot \int dS=\frac{1}{2}c\cdot s+\frac{1}{2}c\cdot S=$

                        $\frac{1}{2}c\cdot \left ( s+S \right )=\frac{1}{2}c\cdot \left ( 2\pi \cdot a+ 2\pi \cdot b \right )=c\cdot \pi \cdot \left ( a+b \right )=\pi \cdot \left ( a+b \right )\cdot c$

    I den retvinklede trekant med kateterne h og b-a
haves
   $c=\sqrt{h^2+(b-a)^2}$

Svar #4
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Mange tusinde tak for jeres svar, men jeg havde glemt at sætte hele opgaven ind. I må virkelig undskylde at jeg ikke havde sat hele opgaven ind før nu. Her er hele opgaven:

Screen Shot 2014-05-25 at 09.18.23.png

Vedhæftet fil:Screen Shot 2014-05-25 at 09.18.23.png

Svar #5
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Jeg forstår stadig ikke f'eren :/

Brugbart svar (1)

Svar #6
25. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#5

Den krumme overflade kan udfoldes til et plant areal, der er et udsnit med centervinkel θ af en cirkelring med lille radius r₁ og store radius r₂. Forlænger man keglestubben til den omsluttende kegle, ser man af et par ensvinklede, retvinklede trekanter, at

$\frac{a}{b}=\frac{r_{1}}{r_{2}}$

og

$c=r_{2}-r_{1}=\sqrt{h^{2}+(b-a)^{2}}$ .

For centervinklen θ har man, at

$\frac{\theta }{2\pi }=\frac{2\pi a}{2\pi r_{1}}=\frac{a}{r_{1}}=\frac{2\pi b}{2\pi r_{2}}=\frac{b}{r_{2}}$ .

Arealet af cirkelringsudsnittet, og dermed arealet af keglestubbens krumme overflade, er derfor

$A=\frac{\theta }{2\pi }\cdot \pi \left ( r_{2}^{2} -r_{1}^{2}\right )\newline\newline =\frac{a}{r_{1}}\cdot \pi \left ( r_{1}+r_{2} \right )\left ( r_{2}-r_{1} \right )\newline\newline =a\cdot \pi \cdot \left ( 1+\frac{r_{2}}{r_{1}} \right )\cdot \sqrt{h^{2}+(b-a)^{2}}\newline\newline =a\cdot \pi \cdot \left ( 1+\frac{b}{a} \right )\cdot \sqrt{h^{2}+(b-a)^{2}}\newline\newline =\pi \cdot \left ( a+b \right )\cdot \sqrt{h^{2}+(b-a)^{2}}\newline\newline$

Svar #7
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

6# kan desværre ikke læse dine koder i kommentaren. Kan du evt. sætte dem ind igen? :)
en anden ting jeg undrede mig over er om man ikke kan finde arealet vha. integral regning. Hvor man bruger sætning for overfladeareal ved drejning om x-aksen? Altså:
$2\pi \int_{a}^{b}f(x)*\sqrt{1+f'(x)^2}$ , hvor funktionen er $f(x)= (\frac{b-a}{h})*x+a$

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#7

Jeg vil prøve senere. Der er vist et teknisk problem med at gengive latex-koderne lige nu. Ellers prøver jeg med det ældre redigeringssystem.

Brugbart svar (1)

Svar #9
25. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Med det ældre redigeringssystem har man dette.

Den krumme overflade kan udfoldes til et plant areal, der er et udsnit med centervinkel θ af en cirkelring med lille radius r₁ og store radius r₂. Forlænger man keglestubben til den omsluttende kegle, ser man af et par ensvinklede, retvinklede trekanter, at

$\frac{a}{b}=\frac{r_{1}}{r_{2}}$

og

c = r₂ - r₁ = √(h² + (b-a)²) .

For centervinklen θ har man, at

θ/(2π) = 2πa/(2πr₁) = a/r₁ = 2πb/(2πr₂) = b/r₂ .

Arealet af cirkelringsudsnittet, og dermed arealet af keglestubbens krumme overflade, er derfor

A = θ/(2π)·π·(r₂² - r₁²)

= (a/r₁)·π·(r₁+r₂)·(r₂-r₁)

= a·π·(1 + r₂/r₁)·√(h²+(b-a)²)

= a·π·(1 + b/a)·√(h²+(b-a)²)

= π·(a+b)·√(h²+(b-a)²)

Svar #10
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Mange tak, kan man ikke finde det vha. sætningen for overfladeareal ved drejning om x-aksen? :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Jo, det kan man da sikkert, hvis man stiller det rigtigt op.

Svar #12
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Vil du ikke se hvad jeg gør forkert her?

Opstiller det som på nedestående billede, hvor der er to punkter som går gennem funktionen. Altså (0,a) og (h,b). Vha. disse punkter finder jeg hældningen, som er $\frac{b-a}{h}$ Skæring er a.

Det vil sige at funktion bliver $f(x)=(\frac{b-a}{h})x+a$

Jeg bruger hernæst formlen for overfladeareal ved drejning om x-aksen, som er:

$\int_{0}^{h} f(x)*\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

Svar #13
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Her er min grafiske opstilling:

Screen Shot 2014-05-25 at 19.56.07.png

Ved du om min metode er rigtig? :)

Vedhæftet fil:Screen Shot 2014-05-25 at 19.56.07.png

Svar #14
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

Hov, det skal lige tilføjes at formlen er $2\pi \int_{0}^{h}f(x)*\sqrt{1+f'(x)^2}$ ^dx

Svar #15
25. maj 2014 af signehas (Slettet)

I opgaven står der at arealet skal være: $O = \pi(ab)*\sqrt{h^2+(b*a)^2}$ , men jeg får dette $O = \pi(ab)*\sqrt{\frac{h^2+(b*a)^2}{h^2}}*h^2$

ER det muligt at omskrive mit til arealet, som står i opgaveformulleringen. Kan du hjælpe, hvis du har tid? :)

Matematik

Skriv et svar til: integralregnig