grænseværdi

Løs ligningen y ' = 0, dvs

        -0,016/x + 0,051/(c+x) = 0 .

Den forlænges til en simpel lineær ligning i x:

        -0,016(c+x) + 0,051x = 0 ,

dvs.

        0,035x = 0,016c , eller

        x = (16/35)c

1000 tak.

y=-a*LN(x)+b*LN(c+x), hvor a og b og c er positive og 0<x<uendelig

Hvad skal der gælde om a og b for at funktionen er aftagende til en værdi af x, hvorefter den vokser.

Har fundet ud af, at funktionen er aftagende til en værdi af x, hvorefter den vokser, hvis og kun hvis b>a. Men hvordan vises det?

#2

Der skal jo så gælde, at

        x = (a/(b-a))·c ,

dvs at

        b/a - 1 = c/x , eller

        b/a = 1 + (c/x) .

Hvad har det med grænseværdien at gøre?

#3

hov har redigeret i svar #2. c er også positiv.

Vil det så ikke altid gælde at funktionen først er aftagende, dernæst voksende, hvis og kun hvis b>a?

#5

Nej, der skal jo gælde, at b/a = 1 + c/x₀ , hvor x₀ er den værdi, hvor minimum ønskes placeret.

Hvis x₀ ikke er specificeret, er der lokalt ekstremum ved

        x₀ = (a/(b-a))·c .

Da x₀ skal være positiv, skal der så gælde b > a .

Ok. Så hvis jeg forstår korrekt;

hvis a, b og c er positive konstanter og x tilhører R+, så vil der altid gælde, at funktionen først er aftagende, dernæst voksende, hvis og kun hvis b>a?

#7

Du angiver niveauet til "Universitet/Videregående"; du bør arbejde meget mere med at formulere dig sprogligt forståeligt.

Hvis a, b, c > 0 , har funktionen

        f(x) = -a/ln(x) + b/(ln(x+c) : R₊ → R

et globalt minimum, hvis og kun hvis b > a . Hvis b ≤ a , er funktionen monotont aftagende.

Super, så er vi enige. Tak nok en gang.

Apropos korrekt og præcis formulering; med udgangspunkt i funktionen

f(x) = -a*ln(x) + 0,5*(ln(x+c) : R+ → R, hvor 0<a<0,5 og c > 0

Funktion 1: a = 0,1

Funktion 2: a = 0,4

er nedenstående formulering så i orden mht. ordvalget? Jeg skal i denne omgang ikke redegøre for det matematisk, og det skal være forståeligt for en ikke-matematikkyndig samtidig med at ordvalget dog skal være korrekt ift. de gloser, man anvender i matematikken til at beskrive en funktion:

Funktion 1 aftager mindre frem mod funktionens globale minimum og vokser efterfølgende mere end Funktion 2. Ydermere begynder Funktion 1 hurtigere at vokse end Funktion 2, da den når sit globale minimum før Funktion 2.

#8

Du mente * i stedet for / ikke? Skal lige være sikker.

#10

Ja, du har da ret, der skulle have stået

       f(x) = -a·ln(x) + b·(ln(x+c) : R₊ → R

i #8 .

For de konkrete funktioner har Funktion 1 f₁(x) globalt minimum i x₀₁ = c/4 , mens Funktion 2 f₂(x) har globalt minimum i x₀₂ = 4c .

Der gælder, at f₂(x) = f₁(x) - 0,3·ln(x) .

Mange tak!

Mht. formuleringen, er den ok? Jeg synes måske nedenstående lyder lidt bedre

Funktion 1 aftager mindre frem mod funktionens globale minimum og vokser efterfølgende mere end Funktion 2. Ydermere begynder Funktion 1 at vokse før Funktion 2, da den når sit globale minimum før.

#12

Jeg ved ikke, hvad du mener med, at den ene funktion vokser eller aftager mere eller mindre end den anden funktion. Det fremgår, at

        f₂ '(x) = f₁ '(x) - 0,3/x ,

dvs. for x > 0 gælder der, at

        f₂ '(x) < f₁ '(x)

Jeg tænker blot på, hvordan man for en ikke-matematikkyndig ville formulere det, når differentialkvotienten for en funktion er større end differentialkvotienten for en anden funktion. Om man fx ville sige, at f₁(x) = 3x vokser mere end f₂(x) = 2x. Men jeg kan godt høre, at "vokser mere" ikke lige er sagen. Vokser kraftigere?

#14

Hvis dit ikke-matematikkyndige publikum har ordet "væksthastighed" i sit ordforrd, er det måske et bedre ord at bruge.