Integralregning.

a) Arealet af punktmængden M er ikke korrekt beregnet. Man har

A(M) = _-3∫⁰ (f(x) - g(x)) dx = _-3∫⁰ (√(10-2x) + x) dx = [-(1/3)·(10-2x)^3/2 + x²/2]⁰_-3

                                    = -(1/3)·10^3/2 + (1/3)·16^3/2 - (-3)²/2

                                    = -(1/3)·10·√10 - 9/2 + 4³/3

                                    = 101/6 - (10/3)·√10

                                    ≈ 6,2924

Der må være tale om området M afgrænset af
                graferne for de to funktioner, andenaksen samt linjen med ligningen x = -3
               

som er i overensstemmmelse med #1.

b) Rumfanget af omdrejningslegemet findes som differensen mellem to omdrejningslegemers voluminer:

V_x(M) = π·_-3∫⁰ (f(x))² dx - π·_-3∫⁰ (g(x))² dx

         = π·_-3∫⁰ (10-2x -x²) dx

         = π·[ 10x - x² - x³/3]⁰_-3

         = π·(-10·(-3) + (-3)² +(-3)³/3)

         = π·(30 + 9 -9)

         = 30π

         ≈ 94,24778

Er opgaven formuleret korrekt?

#1 og #2 Der står faktisk: Graferne for de to funktioner, førsteaksen samt linjen med ligningen x = -3 afgrænser en punktmængde M der har et areal. Desuden får jeg det samme resultat ifølge facitlisten? Dog skal det siges, at det er nogle opgaver, som er udarbejdet fra forrige eksamensopgaver - og #3 ja - opgaven er formuleret rigtigt, og desuden står der, at rumfanget skal give 172,8?

:-)

#4

Kan du henvise til de eksamensopgaver, hvorfra disse opgaver er taget?

Prøv at vise din fremgangsmåde og resultat for a)

Desværre ikke, men jeg nævner dette, fordi der nederst under opgaven står med småt: Bearbejdet udgave af studentereksamensopgave A-niveau maj 2005.

Nu bruger jeg TI-nSpire til at løse opgaver med hjælpemidler, så det bliver ret enkelt:

Jeg tegner grafen for funktionerne, og sætter et punkt, hvor de skærer hinanden altså: (-4,32;4,32). 

Jeg definerer begge funktioner og bruger denne formel:

∫^b_a(f(x)-g(x))dx

∫^4,32₀(f(x)-g(x))dx = 19,3435

Dermed:

19,3435 - 3 = 16,3435 (x = - 3), som jo så er arealet af punktmængden M.

#6

Pointen er så, at funktionen f(x) skal benyttes på intervallet [-3;5] , mens funktionen g(x) ser således ud:

Man har så for arealet af M:

      A(M) = _-3∫⁰ (f(x) - g(x)) dx + ₀∫⁵ f(x) dx =

              = [-(1/3)·(10-2x)^3/2 ]⁵_-3 + [ x²/2 ]⁰_-3

              = (1/3)·16^3/2 - (-3)²/2

              = 64/3 - 9/2

              = 101/6

For rumfanget skal resultatet i #3 suppleres med bidraget

      V_x2 = π·₀∫⁵ (f(x))² dx

            = π·₀∫⁵ (10-2x) dx

            = π·[10x-x²]⁵₀

            = π·(50-25)

            = 25π

således at det samlede rumfang bliver

      V_total = V_x(M) + V_x2 = 30π + 25π = 55π ≈ 172,7876

#7 Jeg siger mange tak for hjælpen :-)