Matematik

Differentialligninger

14. september 2014 af tøllepigen (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hjælp til delopgave C!!!!!!

Opgaven lyder:

I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaido-området i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen:
dN
-- = 0.00029 N (1500 - N)
dt
, hvor t er antal år efter 1975.

a)Bestem tranebestandes væksthastighed, da der var 500 traner i bestanden.

b) Bestem en forskrift for N

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for tranebestanden var størst.

Jeg har fået delopgave a til 145 traner pr. år. og delopgave b til N = 1500/(1+6.732*exp(-.435*t))

Hvordan skal jeg beregne delopgave c?????

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. september 2014 af peter lind

a) Indsæt N=500 i differentialligning.

b) brug separation af variable eller et CAS værktøj, hvis det er tilladt

c) Højre side er en parabel,. Find toppuktet for denne parabel. Alternativt. Differentier højre side og sæt resultatet = 0

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. september 2014 af Hippocampus (Slettet)

Svar #3
14. september 2014 af tøllepigen (Slettet)

Ved opgave C.

Skal jeg så finde N' og sæt den lig med nul, hvorefter jeg isolere t??

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. september 2014 af peter lind

Nej. Du skal finde N'' og sætte det lig 0.

Svar #5
14. september 2014 af tøllepigen (Slettet)

Det får jeg til 4,38. Skal jeg så plus det med 1975, så jeg kan få det år hvor væksthastigheden var størst??

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. september 2014 af peter lind

Svar #7
14. september 2014 af tøllepigen (Slettet)

Tusind tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. september 2014 af mathon

generelt når

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a,y> 0 \; \; \; \; y< M$

$\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot (M-y)+ay\cdot \left ( -\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )$

$\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}=a\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(M-y-y)$

$\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}=a^2y(M-y)\cdot (M-2y)\; \; \; \; \; hvor\; \; \; a^2y(M-y)> 0$

fortegnsvariationen for $\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}$ bestemmes derfor af fortegnsvariationen for faktoren M-2y

hvorfor
for 0 < y < (M/2) er $\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}$ > 0, hvorfor $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ er monotont voksende
for (M/2) < y < M er $\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}$ < 0, hvorfor $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ er monotont aftagende

$\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}$ har derfor maksimum for y = $\tfrac{M}{2}$

dvs
$y=\frac{M}{2}=\frac{M}{1+C\cdot e^{-aMx}}$

$1+C\cdot e^{-aMx}=2$

$C\cdot e^{-aMx}=1$

$e^{-aMx}=C^{-1}$

$e^{aMx}=C$

$aMx=\ln(C)$

$x=\frac{\ln(C)}{aM}$

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.