hjælp

Sæt x= 0 i cirklens ligning og løs derefter den fremkomne ligning i y

det forstår jeg ikke kan du måske illustrere?

cirklens ligning er

x²-4x+y²-8y-12=0

Punkter på y aksen er karakteriseret ved at x=0. Sætter du x=0 i den ligning får du

y²-8y-12=0

det forstår jeg godt, det jeg ikke ved er det jeg skal efter?

du skal løse ligningen

y²-8y-12=0

jeg har fået y=  -1,292 og Y=9,292

Det er så y koordinaterne for skæringspunkterne

men hvad skal jeg så lave videre for at bestemme skæringspunkterne med y-aksen? 

Ingenting. Du har fundet skæringspunkterne med y aksen

ok super:) mange gange tak

Formlen for cirklen x² - 4x + y² - 8y +12 = 0 kan omskrives til (x - 2)² + (y - 4)² = 8. Heraf ses at cirklen har centrum i (2, 4) og radius = √8 = 2√2.

a) Man har 

x² - 4x + y² - 8y +12 = 0 ∧ y = x + 2

x² - 4x + (x + 2)² - 8·(x + 2) + 12 = 0

2x² - 8x = 0

Dvs. (x, y) = (0, 2) ∨ (x, y) = (4, 6)

b) De to tangenter går gennem de to punkter på cirklen, der skæres af en linje, der er vinkelret på linjen y = x + 2 og går gennem centrum. 

Denne linje har ligningen y = -(1/a)x + d = - x + d. Da linjen går gennem centrum som er lig (2, 4) har man: 4 = - (2) + d så d = 6. Dette giver y = - x + 6. Skæringspunkterne mellem cirklen og denne linje til (x,y)=(0,6) og (x,y)=(4,2) ved brug af samme fremgangsmåde som i a)

Tangenterne har samme hældning som linjen y=x+2. Den ene tangent går gennem  (x,y) = (0,6) og den anden gennem (x,y) = (4,2).

Dette giver ligningerne: y = x + 6 og y = x - 2.

c) Ved at bruge Pythagoras læresætning på afstanden mellem y-aksen og centrum samt at bruge radius som hypotenuse, ses det at de to skæringspunkter ligger 2 over og under tallet 4, dvs. cirklen skærer y-aksen i y = 2 og y = 4.

Man kan også sætte x = 0 i formlen for ligningen og få y² - 8 y + 12 = 0 => y = 2 ∨ y = 6.

(Tegningener ikke helt præcis, den højre tangent skal gå gennem x = 2.)

c) Løsning med Pythagoras nærmere forklaring. Vedlagte tegning viser en generel cirkel med radius R, der skærer y-aksen. X_c er x-koordinaten for cirklens centrum, mens Y_c er y-koordinaten for cirklens centrum. Det forudsættes som betingelse for at cirklen skærer y-aksen, at R ≥ X_c. Det forudsættes også, at cirklens ligning er opstillet på (evt. omskrevet til) formlen (x - X_c)² + (y - Y_c)² = R². Kateten a i den viste retvinklede trekant er lig X_c, mens kateten b findes ved Pythagoras læresætning til b = √(R² - X_c²).

Y-værdierne for cirklens skæringspunkter med y-aksen er dermed lig Y_c ± b eller Y_c ± √(R² - X_c²).

I dette tilfælde fås som nævnt y = 4 ± √(√8² - 2²) = 4 ± √(8 - 4) = 4 ± 2 = 2 ∨ 6.

(Undskyld jeg løste hele opgaven ovenfor, jeg lagde ikke mærke til, at der kun blev spurgt om punkt c.)

cirklens ligning er

x²-4x+y²-8y-12=0

Punkter på y aksen er karakteriseret ved at x=0. Sætter du x=0 i den ligning får du

y²-8y-12=0

skæringspunkter mellem cirklen (x - 2)² + (y - 4)² = √(8)² og y-aksen (x = 0)
er
                          og  

Jeg regnede videre på oplysningenerne i #3, som var forkerte.

Der korrigeres derfor
til:
           skæringspunkter mellem cirklen (x - 2)² + (y - 4)² = √(8)² og y-aksen (x = 0)
bestemmes af:
                          
                          

dvs
       skæringspunkterne  
                                           og