Matematik

opad eller nedad?

11. oktober 2014 af nøddeb (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan kan man vise at en talfølge er voksende opad begrænset eller nedad begrænset??

Hvis jeg eksempelvis har denne følge $x_{n} = \frac{(n-1)^{2}}{n^{2}-1}$

og jeg skal vide at den opadvoksende, og at der findes en konstant C ∈ R, så udtrykket : ∀ n ∈ N _ xn < C gælder?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2014 af Soeffi

Man forholdvis nemt finde en øvre grænse ved at omkrive...

$x_{n}=\frac{(n-1)^{2}}{n^{n}-1} = \frac{(n-1)(n-1)}{(n-1)(n+1)}=\frac{n-1}{n+1}< 1,\; for\; alle \;n\;>1$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. oktober 2014 af mathon

$(n-1)(n+1)=n^\mathbf{\color{Red} 2}-1$

Svar #3
11. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Kan det uddybes??
Og hvad gør man hvis man skal vise at en funktion eksempelvis er aftagende og nedad begrænset?

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man er nødt til at se på den konkrete talfølge. Man skal dels vise monotonien i følgen, dels at den er opad eller nedad begrænset.

For talfølgen ovenfor x_n = (n-1)² / (n²-1) = (n-1)/(n+1) var det kun begrænsningen opadtil, der blev vist. Man har endvidere

x_n+1 - x_n = n/(n+2) - (n-1)/(n+1) = (n(n+1) - (n-1)(n+2)) / ((n+1)(n+2)) = (n²+n-n²-n+2) / ((n+1)(n+2))

= 2 / ((n+1)(n+2)) > 0

så talfølgen x_n = (n-1)/(n+1) er både voksende og opad begrænset.

Svar #5
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Tak!
Siges det at de ner voksende fordi følgen er mindre end 1?
Og er den opadbegrænset fordi den er større end 0?
Hvordan definerer man det helt generelt??

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. oktober 2014 af Soeffi

Den er voksende fordi x_n+1> x_n for n > 1.

Svar #7
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

ah okay! tak!

Men hvordan får man dette led? Hvor kommer det fra $x_{n+1} = \frac{n^2 }{(n+1)^2 +1 }$

Svar #8
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Hvordan kan du desuden se at den er opadbegrænset, ud fra at den er mindre end 1?????

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Den er opad begrænset, fordi det for ethvert n ≥ 1 gælder, at x_n < 1 .

Skriv et svar til: opad eller nedad?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.