Differentialligning

Du skal ved alle integrationerne bruge at ∫ 1/x dx = ln(x)

#1

Jeg har:

ln(|Y|) = nln(|s-1|) - (n+1)ln(|s|)

Det er mere de numeriske tegn, der driller lidt. Kan jeg komme af med dem?

#1

Jeg får:

Y = (|s-1|)ⁿ/|s|ⁿ⁺¹

Du skal benytte, at den generelle løsning til differentialligningen

        y' = f(x)·y

er

        y(x) = c·e^F(x) ,

hvor

        F(x) = ∫ f(x) dx .

Der gælder jo, at

        y'(x) = (c·e^F(x))' = c·e^F(x)·f(x) = y(x)·f(x) .

#3 Du mangler integrationskonstanten

#4

Hvordan gav: c·e^F(x) = y(x)?

#6

Benyt den generelle løsning til den lineære differentialligning af 1. orden ("panserformlen"). Her er ligningen homogen.

#7

Jeg kan godt se det nu, men jeg ender jo stadigvæk med de numeriske tegn?

#8

Nej, det gør man ikke.

#9

Hvis jeg har:

|A| = |B| · |C|

Kan jeg fjerne de numeriske tegn ved at gange igennem med -1 på begge sider?

#10

Der er ikke numerisktegn i løsningen til den lineære differentialligning.

Hvis

        y' = f(x)·y ,

er

        y'·e^-F(x) - f(x)·y·e^-F(x) = 0 ,

dvs.

        (y·e^-F(x))' = 0 ,

hvorfor

        y = c·e^F(x) ,

hvor F(x) = ∫ f(x) dx .

#11

Jeg har løst det ved separation:

dY/Y = (n/(s-1) - (n+1)/s)ds

Dvs.

ln(|Y|) = n·ln(|s-1|) - (n+1)·ln(|s|) + c₁ = ln(|s-1|ⁿ) + ln(|s|^-(n+1)) + c₁

Heraf:

|Y| = e^{ln(|s-1|^n) + ln(|s|^(-(n+1))) + c1} = |s-1|ⁿ · |s|^-(n+1) · c₂   , hvor c₂ = e^c1

Endelig:

|Y| = (|s-1|ⁿ / |s|⁽ⁿ⁺¹⁾) · c₂

#12

Da Y selv skal være differentiabel, ender man med udtrykket uden numerisktegn

        Y = c₂ · (s-1)ⁿ / sⁿ⁺¹ .

#13

Funktionen Y er altså ikke differentiabel, hvis vi har |Y|?

#14

Det ændrer ikke på differentiabiliteten af Y at du kigger på |Y| , men funktionen |Y| er ikke nødvendigvis differentiabel i hele det område, hvor Y er differentiabel. Hvor Y skifter fortegn, vil |Y| have et knækpunkt.

Den pågældende differentialligning

        Y' = (n/(s-1) - (n+1)/s) · Y

har en singularitet både ved s = 0 og ved s = 1, så man kan have én konstant c₂' for 0 < s < 1 og en anden konstant c₂'' for s > 1 .

#15

Hvordan kan man vide det med knækpunkt?

Tak f.eks. funktionen y = -x+2, som skifter fortegn efter x = 2. Hvordan får |y| et knækpunkt?

#16

|y| er ikke differentiabel for x = 2 . Grafen for |y| har et knækpunkt ved x = 2.

#17

Det er det jeg spørger ind til. Hvordan kan jeg overbevise mig selv, at der er et knækpunkt i x = 2 for |y|?

|y| må jeg bare betyde |-x+2| og i x = 2 har vi |y| = |-2+2| = 0.

#18

Ja, men det viser jo ikke noget om et knækpunkt. Man skal se på grænseværdien af f '(x) for x → 2.

Med f(x) = |-x+2| har man

                 -x+2 , for x < 2
     f(x) =
                  x-2 , for x ≥ 2

og dermed

                  -1 , for x < 2
      f '(x) =
                   1 , for x > 2

Funktionen er kontinuert overalt, men kun differentiabel for x ≠ 2 , fordi lim_x→2⁺ f '(x) ≠ lim_x→2^- f '(x) . Der er et knækpunkt for x = 2 . Grafen har et knæk; differentialkvotienten er diskontinuert for x = 2.

#19

Det var lige præcis det jeg havde brug for. Tusind tak.

Så hvis funktionen skulle være kontinuert i x = 2, skulle f'(x) have den samme værdi målt fra begge sider af?