Differentialregning - Bevis - HASTER!

a(x-r₁)(x-r₂)             ganger hvert led i første parentes med hvert led i anden parentes

a(x²-r₁x-r₂x+r₁r₂)

a(x²-(r₁+r₂)x+r₁r₂)  

ax²-(r₁₊r₂)ax +ar₁r₂

ax²+bx+c

hvor

b=-a(r₁+r₂) og c=ar₁r₂

Hvad menes der så med, at d ≥ 0? Hvor kommer det så ind i det, du har lavet?

Men mange tak for det andet, du har lavet. Nu forstår jeg bedre!

Er du ver at udlede løsningsformelen for en andengradsligning siden du nu vil have d med?

Det står der i opgaven, hvis du kigger igen :)

OK jeg kan ikke læse de meget små bogstaver.

ax²+bx+c=0                       er standardskrivemåden for en andengradsligning

udtrygget omskrives til kvadratet på en toleddet størrelse (p+q)²=p²+2pq+q²

                                        dividerer alle led med a

x2+b/a x +c/a =0       midterste led 2pq skal have et 2-tal,

                                  så man deler med 2 og ganger med 2     b/a =2*(b/2a)x

x²+ 2* (b/2a)x +c/a=0      c/a trækkes fra på begge sider

x²+ 2* (b/2a) =-c/a          sidste led skal være q²

x² + 2*(b/2a)x+(b/2a)² =-c/a +(b/2a )²

                                     nu omskrives de tre led til kvadratet     p²+2pq+q²=(p+q)²

(x+b/2a)²=-c/a +(b/2a )²

                                    derefter uddrages kvadratroden på begge sider, husk man ikke kan uddrage kvadratroden af et negativt tal, så højre side skal være positiv

x+b/2a=±√(-c/a+(b/2a )²)    fællesnævner for  brøkerne under √

x+b/2a=±√(-4ac/4a²+b²/4a²)

x+b/2a=±√(-4ac+b²) /2a             b/2a trækkes fra på begge sider

Hvad med denne opgave:

Bevis formlen til bestemmelse af rødder for et andengradspolynomium.

Det er det bevis jeg har skrevet i #5

Det står vel også i din matematikbog

Men forstår ikke dit svar på det, jeg havde spurgt om allerførst. Hvis du kunne skære det ud i pap for mig, ville det være rigtig dejligt.

Man har

        f(x) = ax² + bx + c

hvor det antages, at a ≠ 0 .

Dermed har man

        f(x) = a·(x² + (b/a)x + (c/a))

hvorefter man kvadratkompletterer de to led x² + (b/a)x

        f(x) = a·(x² + (b/a)x + (b/(2a))² + (c/a) - (b/(2a))²)

              = a·((x + (b/(2a)))² - ((b² - 4ac)/(2a)²))

Hvis størrelsen   d = b² - 4ac er ≥ 0 , har man da 

        f(x) = a·((x + (b/(2a)))² - ((√d)/(2a))²)

               = a·(x + (b/(2a)) + (√d)/(2a))·(x + (b/(2a)) - (√d)/(2a))

Heraf aflæser man, ved at benytte nulreglen, at hvis d = b² - 4ac ≥ 0 , har polynomiet de to rødder

         r₁ = - (b/(2a)) - (√d)/(2a)     og     r₂ = - (b/(2a)) + (√d)/(2a) 

og polynomiet kan skrives

        f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂) .

#0

I oversigt:
       BEMÆRK
med udgangspunkt i #9's 5. linje
                 
og
                 

haves

                              som ved brug af tabellen
giver
                        

I #9 er der glimrende redegjort for andengradsligningens rødder.
Udledningen kunne også være
foregået således: