Matematik

Differentialligning

03. november 2014 af daisi1 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle!

Jeg har fået opgaven

Givet differentialligningen y'(t)=y(t)²+t
Beregn i hånden det 2. ordens Taylorpolynomium med udviklingspunkt 8 for den løsning der opfylder

y(4) = 3

Er der nogen der kan hjælpe mig i gang?

Jeg tænker jeg skal separere differentialligningen og bruge formlen y′(t) = f (t)g(y(t)) , men kan ikke bestemme f(t) og g(y)

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. november 2014 af mathon

$\frac{1}{y^2}\: dy=t \: dt$ begge sider integreres

$-\int \frac{-1}{y^2}\: dy=\int t \: dt$

$-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}t^2-C_1$

$\frac{1}{y}=C_1-\frac{1}{2}t^2$

$y=\frac{1}{C_1-\frac{1}{2}t^2}$

$y=\frac{2}{C-t^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. november 2014 af peter lind

Er du sikker på at du skal udvikle fra 8 og det er y(4) du kender ? Det vil nemlig være mere naturligt hvis det var samme værdier.

Jeg går ud fra at udviklingspunktet er x₀ og du kender y(x₀)

Du kan finde y'(x₀) ved at indsætte x₀ og y(x₀) på højre side af differentialligningen

Differentier derefter differentialligningen. Du kan nu ved at indsætte det kendte på højre side finde y''(x₀). Du har nu de nødvendige afledede til at indsætte i Taylorformlen

Svar #3
03. november 2014 af daisi1 (Slettet)

Du har helt ret peter lind. Udviklingspunktet er også 4.

dvs x₀= 4, y(x₀)=y(4)=3

y'(4)=3²+4=13.

men hvilken differentialligning er det så jeg skal differentiere?

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. november 2014 af mathon

$y(t)=\frac{2}{C-t^2}$

$y(4)=\frac{2}{C-4^2}=3$

$C-16=\frac{2}{3}$

$C=\frac{2}{3}+\frac{48}{3}=\frac{50}{3}$

hvoraf
$y(t)=\frac{2}{\frac{50}{3}-t^2}$

$y(t)=\frac{6}{50-3t^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
03. november 2014 af peter lind

Den oprindelige y'(t) = y(t)²+t

Svar #6
03. november 2014 af daisi1 (Slettet)

Altså jeg skal bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen?

med y′(t) = f (t)g(y(t))?

i så fald er jeg på bar bund med hvad f(t) og g(y) det er.

Mathon forstår ikke hvordan du kommer frem til det allerførste du har skrevet. 1/y²dy=tdt

Brugbart svar (1)

Svar #7
03. november 2014 af mathon

Sorry - jeg læste differentialligningen forkert!

Brugbart svar (1)

Svar #8
03. november 2014 af peter lind

Ifølge #0 skal du ikke løse differentialligningen men du skal finde Taylorudviklingen til 2. orden med udgangspunkt i 4. Det kræver at du kender y(4), y'(4) og y''(4). Du kender y(4) og har fundet y'(4) men mangler y''(4). Den finder du ved at differentiere differentialligningen og indsætte de kendte værdier. Differentieringen giver på venstre side y''(t). på højre side indgår y(t) og y'(t). Indætter du de kendte værdier for y(4) og y'(4) får du y''(4)

Mere generelt skal du også indsætte t værdien; men den er der ikke behov får i dette tilfælde

Brugbart svar (1)

Svar #9
03. november 2014 af mathon

$y{\, }'(t)=y(t)^2+t$

$y{\, }''(t)=2y(t)\cdot y{\, }'(t)+1$

$y{\, }''(4)=2y(4)\cdot y{\, }'(4)+1$

Svar #10
03. november 2014 af daisi1 (Slettet)

Er det så simpelt her?

y''(t)=(y²+t)'=2y

y''(4)=2*3=6

Brugbart svar (1)

Svar #11
03. november 2014 af peter lind

Nej se #9 indsæt y(4) = 3 og y'(4) = 13

Svar #12
03. november 2014 af daisi1 (Slettet)

okay :) mange tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.