Matematik
Lineær uafhængighed
Hej,
Jeg skal komme på 2 funktioner, der er lineært uafhængige ift. hinanden.
Opfylder funktionerne v1(x) = x2 og v2(x) = x3 det?
Svar #1
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
Hvilket vektorrum er vi i?
To funktioner er lineært uafhængige, hvis
λ1·v1(x) + λ2·v2(x) = 0 (identisk) ⇒ λ1 = 0 ∧ λ2 = 0 .
Svar #2
04. november 2014 af Haxxeren
#1
Altså vi holder os i 2D. For en given x-værdi kan vi finde en tilhørende 'y-værdi'.
Svar #3
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Jo, men er det et vektorrum af polynomier af en vis grad, eller kontinuerte funktioner på et interval?
Svar #4
04. november 2014 af Haxxeren
#3
Det eneste krav der er til funktionerne er, at de skal være "linearly independent" som der står i lærebogen. Herudover skal de opfylde betingelsen v(0) = 0. Endelig skal funktionerne være gyldige fra x = 0 til x = L, hvor L er længden af en bjælke.
Svar #5
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Så kunne du sikkert også benytte sin(x) og sin(2x) .
Svar #6
04. november 2014 af Haxxeren
#5
Ja i princippet, men var x2 og x3 lineært uafhængige ift. hinanden? Deres koefficienter er da 1 og ikke 0 som du skriver i #1.
Svar #7
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Jo, de er da lineært uafhængige. I #1 var λ1 og λ2 ikke koefficienter i funktionerne, men skalarer i en linearkombination. Jeg angav en definition for at to vektorer er lineært uafhængige. Den er du jo nødt til at bruge for at afgøre, om to vektorer er lineært uafhængige.
Svar #8
04. november 2014 af Haxxeren
#7
Kan du nævne to funktioner, der er lineært afhængige og bruge #1 på det?
Svar #9
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Ja, for eksempel v1 = x2 og v2 = 2x2 . Her vil λ1 = 2 og λ2 = -1 give nulfunktionen.
Svar #10
04. november 2014 af Haxxeren
#9
Er λ altid en talværdi? Kan det også være en funktion - f.eks. x?
Svar #11
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#10
λ1 og λ2 er skalarer i vektorrummet. Sæt dig ind i, hvad det vil sige, at to vektorer er lineært uafhængige.
Et sæt af to vektorer v1 og v2 er lineært uafhængige, hvis
λ1·v1 + λ2·v2 = 0 ⇒ λ1 = 0 ∧ λ2 = 0
hvor λ1 , λ2 er skalalrer i det til vektorrummet hørende tallegeme.
Svar #12
05. november 2014 af Haxxeren
#11
Jeg tænker, hvis λ1 = -x og λ2 = 1, da fås (med v1 = x2 og v2 = x3):
λ1·v1 + λ2·v2 = -x·x2 + x3 = 0
Svar #13
05. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#12
Bemærk, at λ1 , λ2 er skalarer . Et sæt af to vektorer er lineært uafhængige, hvis en linearkombination kun kan blive nulvektoren ved at begge skalarer er lig emd 0.
Skriv et svar til: Lineær uafhængighed
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.